《数学分析》是作者在20世纪90年代初编写的同名教材的基础上,结合教学实践,进行了更为全面的探索和改革,经过了大量的教学研究,并参阅了国内外*新出版的教材后编写的。全书体系结构的安排充分考虑了教学效果的需要,而且增加了现代数学分析的一些方法和内容。为了帮助读者深入理解有关的概念和方法,行文中不时穿插了许多启发读者思考的练习,每章后还附有精选的习题。为了方便读者使用《数学分析》,在书末提供了较为详细的习题解答。《数学分析》主要内容是极限理论、实数系基本理论、一元微积分学、级数论、多元微积分���、曲线曲面积分、含参变量积分以及Lebesgue积分初步等。
《数学分析》适用于数学、统计学、计算机科学、管理科学等专业学生作为数学分析课程的教材,可以作为相应专业学生报考研究生的辅导书或参考书,也可以作为其他科技人员自学数学分析的读本。

复旦大学数学系的数学分析教材从20世纪60年代起出版了几种版本,随着改革开放和对外交流的发展,现代数学观点和方法融入数学分析教材是必然的趋势。20世纪90年代初由欧阳光中和姚允龙编写的《数学分析》(以下称原书,由复旦大学出版社出版)由于其独特的风格深受读者欢迎,被许多学校选用作为教材或教学参考书,也为其他教材提供了参考,迄今为止已经三次重印。
近年来,原书在复旦大学数学系多次使用,取得了很好的教学效果,深受广
大学生欢迎。在教学过程中,通过对教材不断地改进,又积累了很多新的经验,得到了各方同仁建议性意见,同时对照国内外同类教材的发展方向,以及21世纪
数学分析课程对教学的要求,本着学生易学、教师易教的宗旨对原书进行了重新
编写。本书继续保持了原书的基本特色,对上下册风格进行了协调,并进一步简
化一些重要结论的证明,将现代数学的一些重要工具引入数学分析课程,为读者
进一步学习现代数学打好基础。
本书的重要特点是理论体系完整,对所有重要结论都给出了严格的证明;对
数学分析教材中的一系列难点问题的讲述进行了系统的改进,提出了许多新的思想和方法。
本书对数学分析教材进行的创新工作主要包括:
1。提出用QD10函数建立实数系的新方法,使得实数系理论处理变得非常简明,学生也容易接受。
2。在不涉及圆周长和圆面积的前提下,用数列极限定义了圆周率,克服了传统教材与圆周长相互循环定义之嫌,严格化了重要极限lim的证明。
3。在积分理论中,不论是定积分还是重积分,我们都引入并证明了Rie-
mann积分中的*深刻结论:函数Riemann可积的充要条件是有界几乎处处连续。我们引入了零测度集和几乎处处连续等概念,并且简化了相应结论的证明和
Riemann积分的讨论。
4。给出了全新的无穷限积分顺序交换定理。
5。作为选用章节,我们引进了经过数学分析化的Lebesgue积分理论。仅用
了一章的篇幅,使用了崭新的方法介绍了Lebesgue积分以及各种极限理论和
Lebesgue测度,所需知识只是初等微积分,容易为初学者接受。本书的Lebesgue
积分理论不仅是数学分析的一个强有力工具,而且也是实变函数的一个重要应
用。这部分内容衔接了数学分析和实变函数课程并填补了两者之间的空白区域。
当然,这部分内容即使不讲,也不影响整个课程的完整性。
6。严格化了广义重积分的理论。
7。简化了Cauchy收敛原理。
本书还引进了现代分析的观点和概念,对下列内容作了修改:
1。将有界闭区间上的连续函数的三大定理合并为一条值域定理。
2。用整体眼光来讲授极值问题,尤其是Lagrange乘子法,克服了传统教材
过分强调局部的毛病。
3。强调了集合论观点处理问题的方法。
4。引进了可列集、零测度等概念。
在教材内容编排上,作了下述改进:
1。正文与习题紧连布排,改变传统的只在章末安排习题的做法,为教师、学生针对性地选题带来方便,章末主要安排了一些综合性的习题。书末还附有参考答案。
2。不同于用正项级数和变号级数为标准分类,采用**收敛和收敛为标准
分类讨论收敛性,更为科学合理。而传统方法容易导致学生对变号级数使用等价
量判别收敛性感到困惑。
3。改变以往轻广义积分重定积分的做法,加强了广义积分的运算。
4。引进了任意区间记号,使得许多结论的描述更为简洁。
5。多重积分的变量代换公式的证明是传统课程的难点。现在修改为先讲述
曲面积分公式,由此轻而易举地推出该公式,证明过程简洁明了。
在实际教学中有关Lebesgue积分的内容可以根据实际情况和教学计划的要求由主讲讲师决定取舍。
希望本书的出版能受到广大读者欢迎,并能对于数学分析课程的教学研究和教学改革起到一点推进作用。应读者的意见和建议,本书所有习题提供了参考性的解答。
*后,感谢教育部对于本书的资助,并将本书列入普通高等教育“十五”**级规划教材。感谢复旦大学教务处、复旦大学数学系领导和同仁的帮助,感谢复旦大学出版社范仁梅女士对本书提出了很好的建议以及对本书的出版的大力支持。
本书上册及第26章由姚允龙编写,下册原作者欧阳光中,第16章到第20章
由周渊负责改写,第21章到第25章由姚允龙改写,习题参考答案由周渊提供。
本书作为“十五”**级规划教材敬献给复旦大学,谨以此贺母校百年校庆。

**章集合
1.1集合
1.2数集及其确界

第二章数列极限
2.1数列极限
2.2数列极限(续)
2.3单调数列的极限
2.4子列

第三章映射与实函数
3.1映射
3.2一元实函数
3.3函数的几何特性

第四章函数极限和连续性
4.1函数极限
4.2函数极限的性质
4.3无穷小量、无穷大量和有界量

第五章连续函数和单调函数
5.1区间上的连续函数
5.2区间上连续函数的基本性质
5.3单调函数的性质

第六章导数和微分
6.1导数概念
6.2求导法则
6.3高阶导数和其他求导法则
6.4微分

第七章微分学基本定理及应用
7.1微分中值定理
7.2Taylor展开式及应用
7.3L'Hospital法则及应用

第八章导数的应用
8.1判别函数的单调性
8.2寻求极值和*值
8.3函数的凸性
8.4函数作图
8.5向量值函数

第九章积分
9.1不定积分
9.2不定积分的换元法和分部积分法
9.3定积分
9.4可积函数类R[a,b]
9.5定积分性质
9.6广义积分
9.7定积分与广义积分的计算
9.8若干初等可积函数类

第十章定积分的应用
10.1平面图形的面积
10.2曲线的弧长
10.3旋转体的体积和侧面积
10.4物理应用
10.5近似求积

第十一章极限论及实数理论的补充
11.1Cauchy收敛准则及迭代法
11.2上极限和下极限
11.3实数系基本定理

第十二章级数的一般理论
12.1级数的敛散性
12.2**收敛的判别法
12.3收敛级数的性质
12.4Abel-Dirichlet判别法
12.5无穷乘积

第十三章广义积分的敛散性
13.1广又积分的**收敛性判别法
13.2广义积分的Abel-Dirichlet判别法

第十四章函数项级数及幂级数
14.1一致收敛性
14.2一致收敛性的判别
14.3一致收敛级数的性质
14.4幂级数
14.5函数的幂级数展开

第十五章Fourier级数
15.1Fourier级数
15.2Fourier级数的收敛性
15.3Fourier级数的性质
15.4用分项式逼近连续函数
第十六章Euclid空间上的点集拓扑
16.1Euclid空间上点集拓扑的基本概念
16.2Euclid空间上点集拓扑的基本定理

第十七章Euclid空间上映射的极限和连续
17.1多元函数的极限和连续
17.2Euclid空间上的映射
17.3连续映射

第十八章偏导数
18.1偏导数和全微分
18.2链式法则

第十九章隐函数存在定理和隐函数求导法
19.1隐函数的求导法
19.2隐函数存在定理

第二十章偏导数的应用
20.1偏导数在几何上的应用
20.2方向导数和梯度
20.3Taylor公式
20.4极值
20.5Logrange乘子法
20.6向量值函数的全导数

第二十一章重积分
21.1矩形上的二重积分
21.2有界集上的二重积分
21.3二重积分的变量代换及曲面的面积
21.4三重积分、n重积分的例子

第二十二章广义重积分
22.1无界集上的广义重积分
22.2无界函数的重积分

第二十三章曲线积分
23.1**类曲线积分
23.2第二类曲线积分
23.3Green公式
23.4Green定理

第二十四章曲面积分
24.1**类曲面积分
24.2第二类曲面积分
24.3Gauss公式
24.4Stokes公式
24.5场论初步

第二十五章含参变量的积分
25.1含参变量的常义积分
25,2含参变量的广义积分
25.3B函数和函数

第二十六章Lebesgue积分
26.1可测函数
26.2若干预备定理
26.3Lebesgue积分
26.4(L)积分存在的充分必要条件
26.5三大极限定理
26.6可测集及其测度
26.7Fubini定理

练习及习题解答

……

人类的文明进步和社会发展,无时无刻不受到数学的恩惠和影响,数学科学的应用和发展牢固地奠定了它作为整个科学技术乃至许多人文学科的基础的地位。当今时代,数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透,它和其他学科的交互作用**活跃,越来越直接地为人类物质生产与日常生活作出贡献,也成为其掌握者打开众多机会大门的钥匙。
数学分析的形成和发展是由于物理学、天文学、几何学等研究领域的进展和突破。数学思想的自如应用、数学研究的准确抽象、数学逻辑的严格推理、数学思考的巧妙方法、数学符号的熟练演算等对数学人才的要求使数学分析成为数学训练的重要基础课程。
《数学分析》用现代数学的思想和方法,对数学分析的传统教材进行了系统的改革,引进了一些*新的叙述与处理方法,使得更便于学生理解、掌握数学分析的精髓,从而更便于传统数学与现代数学接轨。