本书通过一系列重要的数学**，系统地梳理了微积分理论，既包含课堂上没讲授的数学通识内容，又包含对一些复杂知识点的细致拆解，还包含微积分在现实生活中的应用，帮助读者开阔数学视野、提高数学思维、加深对数学的理解。 全书共分为四篇：**篇“数学通识，一些你应该了解的观点和事实”为读者构建数学学习的理念和方法；第二篇“从有限到无穷，初等数学与高等数学的分水岭”解释高等数学何以称为高等？大学数学内容与中学数学内容相比是否存在一个明确的分水岭？为微积分的引入做好铺垫；第三篇“从局部到整体，微积分的华彩乐章”是全书核心，借助“局部—整体原则”讨论函数极限、连续性、无穷小及其比较、导数与微分、微积分基本定理、多元函数微积分等；第四篇“以简单代复杂，微积分的实践之路”包括泰勒展开、傅里叶展开、*小作用量原理，以及极值问题在数学、工程学、人工智能等领域的应用。

目录 第1章天赋还是勤奋 1.1没什么特别的人类 1.2难以测量的直觉 第2章想象力是*大的武器 2.1哥贝克力石阵 2.2规天矩地 2.3数字崇拜 第3章数字背后的逻辑 3.1谁更有钱 3.2一一映射 3.3快速计算比赛场次 3.4汉字简化 3.5基数与序数 第4章区分抽象与还原 4.1抽象的数学处理 4.2生动的数学还原 4.3抽象与还原之争 第5章文明的进步 5.1古巴比伦数字 5.2古埃及数字 5.3古代中国的算筹 5.4印度人的贡献 5.5一场生物学制造的意外 第6章背离经验的科学 6.1���对论的拼图 6.2缺损棋盘问题 6.3失效的经验 第7章数学应该怎样学（I） 7.1逻辑感 7.2一道解三角形题的本质 7.3计算三角函数值的标准做法 7.4“三段式”论证 7.5你知道有几只病狗吗 第8章数学应该怎样学（II） 8.1结构感知力 8.2回归求知的本心 第9章史上*大的“逻辑漏洞” 9.1真相是什么 9.2阿基米德的证明 9.3数学走上神坛 第10章无穷的困境 10.1芝诺悖论 10.2阿基里斯与乌龟 10.3飞矢不动 10.4理性与感观 第11章**次尝试 11.1伽利略的悖论 11.2抽象与演绎的冲突 11.3伽利略的选择 第12章无法回避的难题 12.1封闭的疆域 12.2几何能做的也有限 12.3数学界的思想解放 第13章探寻之路 13.1实数的模型 13.2混乱的状况 13.3柯西与极限 13.4柯西收敛准则 第14章实数轴的重生 14.1康托尔的实数模型 14.2 1.000等于0.999吗 14.3坚实的基础 第15章芝诺悖论的数学终结 15.1可数无穷集合 15.2不平凡的可数集 15.3实数集合不可数 15.4迟到的荣耀 第16章给长度一个交代 16.1长度的数学本质 16.2升级版长度 16.3勒贝格测度 第17章分析学的三条路径和一种范式 17.1从有限到无穷 17.2从局部到整体 17.3以简单代替复杂 第18章归结原则和两个重要极限 18.1**个重要极限： 18.2从数列过渡到函数 18.3第二个重要极限： 18.4“收敛速度”可以求出来吗 18.5怎样跑赢通货膨胀 18.6第二个重要极限的证明 第19章连续性的陷阱 19.1狄利克雷函数 19.2无穷振荡曲线 19.3不可求长曲线 19.4魏尔斯特拉斯函数 第20章微分的前世今生 20.1切线与微分 20.2导数：差商的极限 20.3微分在今天的含义 20.4导数等于微商吗 第21章自然的数学法则 21.1函数[ex]的特性 21.2指数函数与等角螺线 21.3自然界中的等角螺线 21.4等角螺线与地图投影 第22章分割的艺术 22.1黎曼积分 22.2性质与实用的平衡 22.3黎曼积分的性质 22.4可积性判定准则 22.5勒贝格积分 第23章微分与积分的统一 23.1面积如何求导 23.2变限积分：连续函数的原函数 23.3牛顿-莱布尼兹公式 23.4增强版微积分基本定理 23.5微分中值定理与积分中值定理的统一 第24章多元函数的世界 24.1方向导数 24.2空间直线有斜率吗 24.3偏导数——方向导数衍生品 24.4从切线到切平面 24.5梯度 24.6积分也有方向 24.7斯托克斯公式 第25章泰勒展开 25.1微分法 25.2密切法 25.3插值法 25.4幂级数的春天 第26章傅里叶展开 26.1*小二乘法 26.2正交投影法 26.3三角级数的魅力 第27章*小作用量原理 27.1光的折射定律 27.2笛卡儿的解释 27.3费马*小时间原理 第28章*优逼近——泰勒展开的第四张面孔 28.1局部与整体的再一次拥抱 28.2*优逼近多项式 28.3逆矩阵的秘密 28.4*优逼近多项式的极限 第29章*佳近似——超定方程组的现实选择 29.1纯代数的方案 29.2利用费马定理求极值点的方案 29.3造福人类的CT技术 第30章*小损失——人工智能的决策法门 30.1直线拟合的损失函数 30.2梯度下降 30.3梯度下降法的变体