你知道小婴儿天生就具备基本的数感能力吗？数学天才/计算奇才的大脑有何不同？ 人脑中有专门负责数学思维的脑区吗？更加合理的数学教学策略是什么？ 《脑与数学》是有“神经科学界诺贝尔奖”之称的“大脑奖”获得者斯坦尼斯拉斯·迪昂为读者带来的一场关于数学、教育和终身学习的知识盛宴，带你探索人类数学认知的心理起源，揭秘数学思维的真相。 本书以神经科学家的视角，从动物与人类婴儿所具有的算术能力，到人类数学能力的进化历程，再到数学天才的大脑数学认知方式，作者用丰富且富有创新性的实验，将深奥难懂的数学认知与脑科学知识，以大众看得懂的方式娓娓道来，是认知神经科学领域系统描绘人类数学认知的著作，更是数学认知研究领域里程碑式的作品。 如果你是数学教育工作者，这本书让你直达孩子数学思维的本源，理解孩子的思维运行方式，才能真正以符合儿童数学思维发展规律的方���有效教学；如果你是家长，这本书能让你读懂孩子的数学认知方式，以科学的方法帮助他们更好地发展思维能力；如果你是认知神经科学爱好者，那更要赶快拿起这本书，跟随迪昂，踏上探索人类思维奥秘的旅程，去发现隐藏在数字世界背后那复杂而令人兴奋的真相。

数数：计算的基础 在生命初的六七年，大量的计算法则应运而生。儿童重新发明了算术。他们会自发地，或通过模仿同龄人，想象出新的计算策略。他们还学会为每个问题选择策略。他们的大部分策略都是基于数数（counting）的，无论是否使用语言或手指。在有人教他们学习计算之前，儿童仅靠自己就能发现这些策略。 这是否意味着数数是一种人脑与生俱来的能力？美国加州大学洛杉矶分校心理学系的罗切尔·戈尔曼和兰迪·加利斯特尔支持这个观点。他们认为，儿童天生就被赋予了无须学习的数数法则。譬如，不需要教给他们每个对象都必须数一次且只能数一次、数字单词必须按固定的顺序背诵，或者后一个数字代表整个集合的基数。戈尔曼和加利斯特尔认为，这种数数知识是天生的，甚至先于并引导了数字词汇的习得。 很少有理论会像戈尔曼和加利斯特尔的理论这样引起激烈辩论。对于许多心理学家和教育学家来说，数数是一个模仿学习的典型例子。初，它只是一个不涉及意义的死记硬背的行为。在卡伦·富森（Karen Fuson）看来，儿童初把“12345……”（onetwothreefourfive……）当作一个没有间断的链条来背诵。后来他们才能学会将这个序列分隔成单个数字，把它延续到更大的数字，并将其应用到具体情况中。通过观察其他人数数，他们逐步推断出数数是怎么回事。根据富森的说法，数数初只是鹦鹉学舌。 经过多年的争论和无数次的实验，真相逐渐被揭示，数数这种能力似乎介于“纯粹先天”和“纯粹后天”两个之间。数数的某些方面是发育早期就掌握的能力，而其他方面则需要学习和模仿才能习得。 以卡伦·温的实验为例，我们可以发现令人惊异的早期数数能力。两岁半的儿童可能很少有机会看到有人对声音或动作计数。然而，如果让他们观看《芝麻街》录像带，并且数大鸟跳跃的次数，他们很容易就能完成任务。同样，他们可以数各式各样的声音，如喇叭声、铃铛响、泼溅声、磁带里计算机的哔哔声，甚至看不见源头的声音。可见，不需要明确教学，儿童似乎很早就理解数数是一个抽象的过程，适用于各种视觉和听觉对象。 下面是另一种早期能力：早在3岁半的时候，儿童就知道，背诵数字的顺序至关重要，而以哪种顺序指向对象无关紧要，只要每个对象数一次并且只数一次。在一系列具有创新性的实验中，戈尔曼和同事们向儿童呈现了几种违反数数惯例的情境。结果表明，3岁半的儿童可以识别并纠正相当微小的数数错误。若有人背错了数字的顺序或漏数了一个对象，或者同一个对象数了两次，他们总是能注意到。重要的是，他们能清楚地区分哪些是明显的错误，哪些是正确但不常见的数数方式。例如，他们发现，从一排对象的中间开始计数，或间隔地计数是完全可以接受的，只要终所有物品都被数过一次且只数一次。更有趣的是，他们愿意从一排中任意一个对象开始数，他们甚至可以制定系统的策略，使某个预先指定的对象恰好排在第3位。 这些实验表明，在4岁之前，儿童已经掌握了数数的基本原则。然而他们并不满足于亦步亦趋地模仿别人，他们把数数推广到了新异的情境中。我们对这种早期能力的起源仍然知之甚少。儿童从哪里获得把数数的对象跟背诵的数词一一对应这个想法呢？跟戈尔曼和加利斯特尔一样，我相信这种才能属于人类的遗传禀赋。以一个固定的顺序背诵单词可能是人类语言能力自然而然的结果。至于一一对应原则，这在动物王国中实际上广泛存在。老鼠在迷宫中寻找食物的时候，会试图访问每个岔路一次且只一次，这是一种限度地减少搜索时间的理性行为。当我们在视野中寻找给定对象时，我们的注意力轮流转向每个对象。数数法则正处于人脑两种基本能力的交汇处——单词背诵和彻底搜索。这就是为什么我们的孩子很容易掌握它。 虽然儿童迅速掌握了如何数数，然而他们似乎一开始就不在乎为什么要去数。作为成年人，我们知道数数用来干什么。对我们来说，数数是一个具有明确目的性的行为：列举一组物品。我们也知道，真正重要的是后一个数字，它代表了整个集合的基数。儿童也懂这些吗？还是说他们只是把数数当成一种游戏，在这个游戏中每指向一个不同的物品就读一个有趣的单词？ 卡伦·温认为，只有在快满4周岁时，儿童才可能领会数数的意义。如果你让3岁的小女儿数她的玩具，然后问她：“你有多少玩具？”她很可能会给出一个随机数，并不一定是她刚刚数出来的数字。和这个年龄段的所有儿童一样，她似乎并没有把“多少”这个问题与她先前的数数行为联系起来。她甚至可能把所有东西再数一次，好像数数行为本身就足以回答“多少”这个问题。同样，要求一个两岁半的小男孩给你3个玩具。他很可能会随机挑选几个，即使他已经可以数到5或者10。在这个年纪，虽然数数的机制已经就绪，但儿童似乎并不明白数数到底有什么用途，当问题情境需要通过数数解决时，他们并不会想到数数。 到4岁左右，儿童才终明白了数数的意义。但他们是如何明白的呢？数量的前语言表征能力可能在这一过程中起着至关重要的作用。儿童从出生开始，早在他们开始数数前，就已经拥有一个能够告诉他们周围事物大概数量的心理累加器。这个累加器有助于赋予数数意义。假设一个儿童在玩2个布娃娃，他的累加器会自动激活数量2的大脑表征。我们在前面的章节中描述过，他已经学会了数词2适用于这个数量，因此在不需要数数的情况下他也可以说“2个娃娃”。现在假设，没有特别的原因，他决定和布娃娃“玩数数游戏”，在背诵单词“1、2”时他惊奇地发现，数数的后一个数字2正是可以用于表示全体数量的那个词。经历过10次或20次这样的场合，他可能会很有把握地推断，数数时的后一个数具有特殊的地位：它代表了一个与内在累加器提供的数量相匹配的数量。数数，原本只是一个有趣的文字游戏，现在突然有了一个特殊的意义：数数是回答“多少”这个问题好的方法！

引言 部分 天赋数感：进化的馈赠 01 会算数的“天才”动物 一匹名叫汉斯的马 老鼠“会计师” 动物的计算有多抽象 蓄水池隐喻 数量探测神经元 模糊的计数 动物计算能力的局限 人类认知能力在动物界是****的 02 婴儿天生会计数 皮亚杰的理论 皮亚杰的错误 婴儿也能识别数量 一种数字知觉的抽象模块 1加1等于几 婴儿算术的局限 遗传、环境和数字 03 成人的心理数轴 1、2、3 及其后的数字 估计大数字 符号所代表的数量 对大数字的心理压缩 数字含义的反射性加工 空间感 数字有颜色吗 数字直觉 第二部分 超越数感：人类计算之谜 04 数字语言：人类的杰作 数字简史 数字书写系统 位值原则 丰富多样的数字语言 讲英语的代价 学习标记数量 约整数，**数 为什么有些数字出现得更频繁 记数系统的文化进化 05 小头脑做大计算 数数：计算的基础 学前儿童：算法设计师 记忆登场 记住乘法口诀表为什么如此艰难 言语记忆的援助 心理漏洞 数学学习中儿童应该使用计算器吗 数学盲的产生有深层根源 对儿童有益的数感教学 06 天才和奇才 数字“寓言集” 数学家内心的数学景观 探索天才的生物学基础 数学才能是一种生物天赋吗 激情培育人才 非凡计算者的普通参数 速算的秘诀 天才和数学发现 第三部分 大脑可塑：神经元与数字 07 失去数感会如何 估算者N先生 裂脑患者的缺陷 失去数感的M先生 下顶叶皮层和数感 数学诱导癫痫发作 数字的多重含义 大脑中的数字信息高速公路 大脑中的计算是如何组织的 大脑特异化之起源 08 心算时大脑活动的真相 心算是否增加大脑代谢 革命性的脑成像技术 我们能否定位数学思维 人脑进行乘法运算和数字比较时 PET 技术的局限 记录脑电信号 数轴的时间进程 不同的单词激活不同的脑区 对人脑的科学探索方才起步 09 数学认知研究与数学的本质 大脑是逻辑机吗 人脑中的模拟计算 更加合理的数学教学策略 柏拉图主义、形式主义和直觉主义 数学学科的建构与选择 数学的不合理有效性 第四部分 数学与脑科学：令人兴奋的新发现 10 理解大脑，才能更好地教与学 数感可以在大脑中被定位吗 数字的空间性与时间性 寻找与数字有关的单个神经元 婴儿也有数感吗 数字1、2、3的特殊地位 感数的机制是什么 没有计数系统的蒙杜卢库人 从近似数到**数 认识个体差异和计算障碍 哪些方法能帮助数学学习有困难的儿童 教室将成为下一个实验室 附录A 注释 参考文献 致谢 译者后记