本书是为大学生数学竞赛(非数学专业)编写的教学辅导教材,内容覆盖了大学高等数学(微积分)等课程。全书共有7章,共约1200多道题,其中有精心选取的全国竞赛(非数学类)的部分原题。书中还给出了*近几届全国大学生数学竞赛(非数学类)的试卷,有别于试卷本身的“参考答案”,我们对部分题目重新做了解答,为读者提供了更高质量的参考解答。题目难度有一定的差异,以适合不同层次和不同专业的学生对数学竞赛或考研辅导的需求。全部习题都附有较详细的解答,以便于读者自学。书中经典的基本题约占二分之一,且涵盖的题目类型广泛,近年数学竞赛的很多题目都可在本书中找到踪影。对于经济和管理类的学生,除了“曲线与曲面积分”一节的内容之外,其他章节皆适用。此外,书中加入了一些历史上的数学名题,如“*速降线问题”“等周问题”“圆周率是无理数”; 还提供了一些数学新题,如“公路占地原理”“弯管的启示”等,以适合高层次学生对数学知识的追求。新版中对每一节的习题都做了详细的分类,特色题大都给予命名并开列在目录中,以帮助读者归纳和查找,使该书的内容更加系统化。

目录 第1部分要点、例题与习题 第1章一元函数的极限与连续 1.1极限 1.1.1内容要点 1.1.2例题选讲 1.1.3习题汇编  内容分类 一般数列的极限 递推、迭代数列的极限 数列的收敛速度 数列极限的综合题 函数极限  特色题 数列极限的平均值例2 数列xn 1=c xn的极限例3 用比值法和根值法求数列极限例5 数列an,n-p趋于零的速度比较例7(1) lnαx,xβ,eγx趋于无穷大速度的比较例7(2) 用施托尔茨定理求数列极限题10 用夹逼准则求数列极限题12 数列 sinnθ 的极限题15 用单调有界原理求数列极限题25 方程tanx=x的根所成数列的 极限题37 交叉迭代的数列极限题41 空间中4个点交叉迭代的点列 极限题43 幂指型极限的等价无穷小代换题51 用微分中值定理求极限题52 笛卡儿叶形线的渐近线题56 函数 (ax1 ax2 … axn)/n1/x的 极限题61 x→0 时函数 xxxx的极限题62 1.2一元函数的连续性 1.2.1内容要点 1.2.2例题选讲 1.2.3习题汇编  内容分类 介值定理、零点定理与连续性 函数方程与连续性 连续函数的应用题  特色题 2x的函数方程例1 椭圆的外切正方形例2 奇偶次多项式的实零点与*值例3 连续性与不动点例4 *大、*小函数的连续性题8 地球上的同温点题14 陈家全的百米世界纪录题15 方桌的平稳摆放问题题17 “一刀二饼”问题题19 第2章一元函数微分学 2.1导数、微分中值定理 2.1.1内容要点 2.1.2例题选讲 2.1.3习题汇编  内容分类 求导法 高阶导数 导函数的性质 微分中值等式  特色题 用递推公式求x=0处arctanx的 高阶导数例3 导函数的极限定理例5 导函数的介值定理例7 微分中值等式的一般解法例10 函数行列式的导数题14 相关变化率题16 反函数的二三阶导数题27 导数不为零的函数是单调函数题33 导函数没有**类间断点题34 重根与导函数题39 其他特色题题2,25(2),31 2.2导数与函数的单调、极值、凸凹及 泰勒公式 2.2.1内容要点 2.2.2例题选讲 2.2.3习题汇编  内容分类 泰勒公式 泰勒公式与不等式 函数的单调性与不等式 函数的凹凸性与不等式 函数的极值与*值  特色题 函数展开为麦克劳林公式的常用 方法例1 麦克劳林公式与等价无穷小例2 泰勒公式与不等式例3,4 极值的高阶导数判别法例8 关于严格凹(凸)不等式例10 从低阶到高阶排列的4个无穷小题7 若尔当不等式 2θπ≤sinθ≤θ题24 反函数的凹凸性题29 平均值不等式题35 柯西不等式题36 凹凸函数与*值题44 数列 {nn}的*大项题46 函数∑ni=1|x-ai|的*小值题47 伯努利不等式(1 x)α≥1 αx题49 其他特色题 题9,26,27,28,32,37,39,54 2.3一元函数微分学综合题  内容分类 导数与函数方程、恒等式 方程的根与导数 优化问题 其他综合题  特色题 f(x)=tanx的函数方程题4 方程2x=x2 1有3个不同的实根 题17 多项式[(x2-1)n](n)的实零点分布 题20 由图形判断x3-3x p=0的根题26 公路上的选址问题与**法题30 函数1 x … xn/n!的实零点题38 e是无理数题43 误差悖论与泰勒公式题45 与arctanx的高阶导数有关的问题题47 数列{nsin(2πen!)}的极限题50 *大熵原理题55 其他特色题 题1,10,14,15,24,42,49,57 第3章不定积分与定积分 3.1不定积分 3.1.1内容要点 3.1.2例题选讲 3.1.3习题汇编  内容分类 有理函数的积分 三角函数有理式的积分 无理函数的积分 幂三指函数的积分 综合题  特色题 有理函数积分的5个常见类型例1 三角函数有理式积分的常用换元法例2 函数系{Pn(x)eλx}对原函数的封 闭性例8 非常规分解的有理函数的积分题2 ∫tannxdx与∫sinnxdx的递推公式题5 ∫cosmxsinnxdx的递推公式题7 用倒代换计算的积分题10 ∫eaxcosbxdx和∫eaxsinbxdx的积分 题13 函数系{Pn(x)eaxcosbx Qn(x)eaxsinbx}对原函数的封闭性题15 分段函数的原函数题26 3.2定积分及其在几何与物理中的 应用 3.2.1内容要点 3.2.2例题选讲 3.2.3习题汇编  内容分类 定积分与广义积分的计算 积分等式及变限积分 定积分在几何与物理中的应用  特色题 某些定积分的简算例2,题1 连接两点的*短路径是线段例4 求变项和的极限例5 定积分与微元法例6 图形绕斜轴的旋转体体积例7,题30 正交函数系题7,8 柱壳法求旋转体体积题29 椭圆外等距线的长度题38 惠更斯摆的等时性题44 旋轮线的等时性题45 其他特色题例3,题2,15,17,19,23 3.3定积分综合题  内容分类 积分不等式 积分极限 其他综合题  特色题 积分的柯西不等式题3 凹凸形函数的积分不等式与等式题15 积分极限limn→∞n∫ba[f(x)]ndx题21 积分极限 limx→ ∞∫x0|sint|dt/x题29 原函数的奇偶性和周期性题32 圆周率π是无理数题37 *大微分熵题43 其他特色题题2,4,11,12,18,42,48 第4章多元函数微分学 4.1函数与图形 4.1.1内容要点 4.1.2例题选讲 4.1.3习题汇编  特色题 下料问题例1 曲面上的蚂蚁寻路问题例2,题14 正劈锥的参数方程例3 默比乌斯带的参数方程例5 一般旋转曲面的参数方程例6 在椭球面上截圆题1 单叶双曲面是直纹面题6 欧拉四面体问题题8 齐次函数与锥面方程题11 空间圆的参数方程题15 礼花绽放题21 其他特色题题16,17,18 4.2多元函数的极限、连续与微分 4.2.1内容要点 4.2.2例题选讲 4.2.3习题汇编  内容分类 多元函数的极限与连续 偏导数 全微分 高阶偏导数 综合题  特色题 x2 y2的方向导数与偏导数例4 已知全微分求原函数例7,题18 高阶偏导数例10,题20 解偏微分方程例13,题31 极坐标下的偏导数题6 调和函数题21,22 一个二元函数的恒等式题34 齐次函数题38 其他特色题例8,题7,37 4.3多元函数微分学的应用 4.3.1 内容要点 4.3.2例题选讲 4.3.3习题汇编  内容分类 多元函数微分学的几何应用 多元函数的极值与*值 多元函数微分学的综合题  特色题 曲线簇的包络线例2,题6,7 等距线例3,题9 *远(近)点的垂线原理例5,题24,25,26,27 一个不寻常的切线问题题2 椭球面的切线束题10 柱面方程的特征题11 **极值非*值的例子题22 点到3条直线的距离之和*小题32 4点共圆时四边形的面积*大题36 三角形的费马点题37 其他特色题题15,21,37,38, 第5章多元函数积分学 5.1重积分 5.1.1内容要点 5.1.2例题选讲 5.1.3习题汇编  内容分类 重积分的计算与简算 重积分的一般变量代换 含参数的积分 积分不等式 求面积和体积问题 综合题  特色题 重积分的对称奇偶性例1 用**法计算的重积分例3 卷积的计算例7,题21 卷积的运算律题20 二次型与椭圆的面积题31 二次型与椭球的体积题33 其他特色题例5,6,题5,11,22,23,26,34,42,44 5.2曲线积分与曲面积分 5.2.1内容要点 5.2.2例题选讲 5.2.3习题汇编  内容分类 曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分  特色题 用平移变换计算的一个曲线积分例1 闭曲线内部有奇点的曲线积分例2 调和函数的平均值定理例4 灵活选择的面积微元 例5 用积分坐标的转换计算曲面积分例6,题22 用轮换对称计算的曲面积分例9 凑原函数计算曲线积分题10 用对称奇偶性计算曲面积分题14 用斯托克斯公式计算曲线积分 题27,28 其他特色题题6,11,23,30 5.3多元函数积分学的应用 5.3.1内容要点 5.3.2例题选讲 5.3.3习题汇编  内容分类 多元积分学的几何应用 多元积分学的物理应用  特色题 用微元法解释对称奇偶性例1,题1 用曲线积分求柱面的面积例2 星形线的旋转面面积例3 圆锥面铺平后其上的曲线长度不变例4 公路隔离栏原理例5 公路占地原理例6 等周问题的证明例7 圆柱面铺平后其上的曲线长度不变 题2 咕噜金定理题6 弯管的启示题8 阿基米德定律的推导题16 旋转液面的形状题18 雪堆的融化问题题19 第6章无穷级数 6.1数项级数 6.1.1内容要点 6.1.2例题选讲 6.1.3习题汇编  内容分类 级数求和 正项级数 一般项级数 综合题  特色题 拆项相消法求级数的和例1,题1 正项级数的敛散性与一般项趋于零的 速度例3 正项级数敛散性的积分判别法例4 条件收敛级数中的正负项级数例5 条件收敛的级数不满足加法交换律 例6 用泰勒公式分解级数例7,题29,30 级数的敛散性与数列的敛散性例8 比较法的极限形式不适合非正项 级数例9 一个二重级数的敛散性题17 数列xn=cosxn-1的敛散性题45 斐波那契数列与黄金分割比题47 无穷积分的敛散性与级数的敛散性题51,52 狄利克雷积分∫ ∞0(sinx/x)dx条件收敛题53 压缩映射原理题58 其他特色题题13,14,31,34,35,48 6.2函数项级数 6.2.1内容要点 6.2.2例题选讲 6.2.3习题汇编  内容分类 幂级数的收敛域 函数的幂级数展开式 幂级数求和 一般函数项级数 综合题  特色题 两个幂级数和的收敛域例1 e-1/x2不能展开为麦克劳林级数例6 傅里叶级数的闭合性公式例8 幂级数 ∑∞n=1sinnn2xn的收敛域题5 斐波那契数列的母函数题14 ∑∞n=0sinnx与∑∞n=0cosnx的收敛域题20 用傅里叶级数求数项级数的和题24 有理函数的幂级数特征题30,31 提不尽的银行存款题38 傅里叶级数的维尔丁格不等式题42 用傅里叶级数证明等周问题题43 其他特色题题19,25,34,37 第7章微分方程 7.1初等积分法与线性方程 7.1.1内容要点 7.1.2例题选讲 7.1.3习题汇编  内容分类 用初等积分法解微分方程 线性微分方程 综合题  特色题 积分因子例1,题8,9 非齐次线性方程特解的算子解法例5,6,7,题11 二阶线性齐次方程的朗斯基行列式例8 由通解求方程形式题1 二阶常系数非齐次线性方程的一个新 解法题19 用逆算子求不定积分∫x3e2xdx题20 可化为常微分方程的偏微分方程题21 其他特色题题14,25 7.2微分方程的应用题  内容分类 微分方程的物理应用 微分方程的几何应用 其他应用题  特色题 将地球变为黑洞题1 滑行距离问题题2 浮筒的振动题3 单摆小幅摆动的周期题4 悬链线题7 *速降线问题题8 马王堆一号墓的年代考证题9 攀岩的路径题10 雨滴流淌的轨迹题11 曳物线题12 追线问题题13 横渡江河的线路题14 摆渡线路题15 4人追逐线路题16 盘山公路的修筑题17 湖泊污染的治理题18 降雪与扫雪问题题21 凶犯的排除题22 给CPU降温题23 新技术的推广题24 第2部分习 题 解 答 第1章一元函数的极限与连续 1.1极限 1.2一元函数的连续性 第2章一元函数微分学 2.1导数、微分中值定理 2.2导数与函数的单调、极值、凸凹及 泰勒公式 2.3一元函数微分学综合题 第3章不定积分与定积分 3.1不定积分 3.2定积分及其在几何与物理中的 应用 3.3定积分综合题 第4章多元函数微分学 4.1函数与图形 4.2多元函数的极限、连续与微分 4.3多元函数微分学的应用 第5章多元函数积分学 5.1重积分 5.2曲线积分与曲面积分 5.3多元函数积分学的应用 第6章无穷级数 6.1数项级数 6.2函数项级数 第7章微分方程 7.1初等积分法与线性方程 7.2微分方程的应用 附录A中国大学生数学竞赛大纲 (非数学类) 附录B8~11届全国大学生数学竞赛预赛 (非数学类)赛题及解答 第8届全国大学生数学竞赛预赛赛题 (非数学类,2016年) 第9届全国大学生数学竞赛预赛赛题 (非数学类,2017年) 第10届全国大学生数学竞赛预赛赛题 (非数学类,2018年) 第11届全国大学生数学竞赛预赛赛题 (非数学类,2019年) 附录C7~10届全国大学生数学竞赛决赛 (非数学类)赛题及解答 第7届全国大学生数学竞赛决赛赛题 (非数学类,2016年) 第8届全国大学生数学竞赛决赛赛题 (非数学类,2017年) 第9届全国大学生数学竞赛决赛赛题 (非数学类,2018年) 第10届全国大学生数学竞赛决赛赛题 (非数学类,2019年) 附录D常用公式与记号 参考文献