**篇数学3**章高等数学
**节函数与极限
一、函数（一）函数的概念及表示法1定义设x与y是两个变量，D是实数集R的某个子集，若对于D中的每一个x，按照对应法则f，总有**确定的值y与之对应，则称因变量y为自变量x的函数，记作y=f(x)。这里的D称为函数f的定义域，相应的函数值的全体所构成的集合称为函数f的值域。
（1）从概念上讲，函数实际上是一个映射，是两个实数集之间的对应法则，它包括两大要素：定义域和对应法则。
（2）两个函数相等的充要条件是定义域（自变量的取值范围）和对应法则（从自变量的值对应到因变量的值的方法）都相同。需要注意的是，函数和变量的选取是没有关系的，只要定义域和对应法则相同，不管用什么变量表示函数的自变量和因变量，函数都是一样的。例如：y=x2,x∈［0,1］和u=t2,t∈［0,1］表示同一个函数。
（3）在没有特殊规定的情况下，函数的定义域就是使相关的运算有意义的范围，也称为函数的自然定义域。人为指定的定义域一定是自然定义域的子集。
常见函数的自然定义域如下：
y=x,x≥0;y=1x,x≠0
y=lnx,x>0;y=ex,x∈R
y=sinx,x∈R;y=cosx,x∈R
y=tanx,x≠π2+kπ;y=cotx,x≠kπ(k∈Z)
y=secx,x≠π2+kπ;y=cscx,x≠kπ(k∈Z)
y=arcsinx,x∈［-1,1］;y=arccosx,x∈［-1,1］
y=arctanx,x∈R
2表示法
（1）解析法(公式法)
用数学式表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。
（2）表格法
将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。
（3）图形法
用坐标平面上的点集{P(x,y)|y=f(x),x∈D}来表示函数的方法即是图形法。
在图形法中，一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
【例题】若f（x）=xkx2+2kx+2的定义域为（-∞，+∞），则数值k的取值范围是（）。
A0≤k<2B0≤k<1C0≤k<3D0≤k<4
【答案】A。解析：题干等价于kx2+2kx+2≠0恒成立。当k=0时，有2≠0；当k≠0时，Δ=（2k）2-8k<0，解得0 （二）函数的几种特性
1有界性
设函数f(x)的定义域为D，数集XD。如果存在正数M，使得对于任一x∈X，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)在X上有界。如果这样的M不存在，则称f(x)在X上无界。
（1）函数的有界性也可以通过上下���的方式来定义：如果存在实数m和M，使得对任一x∈X，都有m≤f(x)≤M，则称函数f(x)在X上有界。其中m和M分别称为函数f(x)在X上的下界和上界。要注意的是，函数在一个区间上有界的充要条件是函数在该区间上既有上界又有下界。
（2）有界性是函数在区间上的性质，同一个函数在不同区间上的有界性可能是不一样的。例如函数f(x)=1x在区间(0,1)上是无界的，在区间(1,+∞)上是有界的。
（3）常见的有界函数：y=sinx,y=cosx,y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx。
2单调性
设函数f(x)的定义域为D，区间ID。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1 f(x1)f(x2)），
则称函数f(x)在区间I上单调增加（或单调减少）。
在上述定义中，若把“<”换成“≤”，则称函数f(x)在区间I上单调不减；若把“>”换成“≥”，则称函数f(x)在区间I上单调不增。
（1）单调性的性质：
①如果f1(x),f2(x)都是增函数（或减函数），则f1(x)+f2(x)也是增函数（或减函数）；
②设f(x)是增函数，如果常数C>0，则C·f(x)是增函数；如果常数C<0，则C·f(x)是减函数；
③如果函数y=f(u)与函数u=g(x)增减性相同，则函数y=f［g(x)］为增函数；如果函数y=f(u)与函数u=g(x)增减性相反，则函数y=f［g(x)］为减函数。
（2）常见函数的单调增区间及单调减区间：
表1-1-1常见函数的单调区间
常见函数单调增区间单调减区间y=x2+ax+b［- a2,+∞)(-∞,- a2］y=ex(-∞,+∞)无y=lnx(0,+∞)无y=sinx［2kπ-π2,2kπ+π2］［2kπ+π2,2kπ+3π2］y=cosx［2kπ-π,2kπ］［2kπ,2kπ+π］y=1x无(-∞,0)和(0,+∞)3奇偶性
设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任一x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于任一x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
（1）奇偶性的性质：
①偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称；
②如果f1(x)和f2(x)都是偶函数（或奇函数），则对任意的常数k1,k2∈R，k1f1(x)+k2f2(x)仍是偶函数（或奇函数）；
③如果f1(x)和f2(x)的奇偶性相同，则f1(x)·f2(x)为偶函数；如果f1(x)和f2(x)的奇偶性相反，则f1(x)·f2(x)为奇函数。
（2）常见的偶函数：
y=xk（k为偶数），y=cosx，y=|x|，
f(x)、f(x)+f(-x)2、f(x)·f(-x)，其中f(x)是任意定义在对称区间上的函数。
常见的奇函数：
y=xk（k为奇数），y=sinx，y=tanx，y=cotx，y=ln(x+1+x2)，
f(x)-f(-x)2，其中f(x)是任意定义在对称区间上的函数。
4周期性
设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对任一x∈D有x±T∈D，且f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期。
一般周期函数的周期是指小正周期。
（1）周期性的性质：
①如果f(x)以T为小正周期，则对任意的非零常数C，C·f(x)仍然以T为小正周期，f(Cx)以T|C|为小正周期；
②如果f1(x)和f2(x)都以T为周期，则对于任意的常数k1,k2∈R，k1f1(x)+k2f2(x)仍然以T为周期。注意这时小正周期有可能缩小，如f1(x)=cos2x+sinx,f2(x)=sinx都以2π为小正周期，但f1(x)-f2(x)=cos2x以π为小正周期。
（2）常见的周期函数及其小正周期：
y=sinx,T=2π，y=cosx,T=2π，
y=tanx,T=π， y=cotx,T=π。
（三）函数的运算
1四则运算
设函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2，且D=D1∩D2≠，则这两个函数经过四则运算之后能形成新的函数：
和（差）运算：f(x)±g(x)，x∈D；
积运算：f(x)·g(x)，x∈D；
商运算：f(x)g(x)，{x|g(x)≠0,x∈D}。
2复合函数
设函数y=f(u)的定义域为D1，函数u=g(x)的定义域为D2。如果g(x)的值域g(D2)包含于f(u)的定义域D1，则可以定义函数y=f［g(x)］，x∈D2为函数f(u)与g(x)的复合函数，记作y=f［g(x)］或fg。
（1）复合函数的基本思想是把y=f(x),x∈D1中的x进行推广，变成一个新的函数，这是我们认识和理解函数的基本方式。
（2）注意能够进行复合的前提条件是g(x)的值域g(D2)包含于f(u)的定义域D1。如果该条件不满足，只要g(x)的值域g(D2)和f(u)的定义域D1的交集不是空集，复合运算也可以进行，只不过此时复合之后的函数的定义域变成了{x|g(x)∈D1}。
3反函数
设函数y=f(x)的定义域为D，其值域为f(D)。如果对于每一个y∈f(D)，都有**确定的x∈D，使得f(x)=y（我们将该对应法则记作f-1），则这个定义在f(D)上的函数x=f-1(y)就称为函数y=f(x)的反函数，或称它们互为反函数。
（1）不是所有的函数都有反函数。函数y=f(x),x∈D存在反函数的充要条件是对于定义域D中任意两个不相等的自变量x1,x2，有f(x1)≠f(x2)。一般来说，单调的函数一定有反函数。
（2）在同一坐标平面上，函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称。
（四）常见的函数类型
1初等函数
（1）基本初等函数
常用的基本初等函数有五类：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。
表1-1-2常用的基本初等函数
函数
名称函数的记号函数的图形函数的性质指数
函数y=ax（a>0，a≠1）a）不论x为何值，y总为正数;
b）当x=0时，y=1对数
函数y=loga x（a>0，a≠1） a）其图形总位于y轴右侧，并过（1，0）点；
b）当a＞1时，在区间（0，1）的值为负；在区间（1，+∞）的值为正；在定义域内单调递增幂函数y=xa，a为任意实数
这里只画出部分函数图形的
**象限部分。 令a=m/n
a）当m为偶数n为奇数时，y是偶函数;
b）当m，n都是奇数时，y是奇函数;三角
函数y=sinx（正弦函数）
这里只写出了正弦函数 a）正弦函数是以2π为周期的周期函数；
b）正弦函数是奇函数且sinx≤1反三角
函数y=arcsinx（反正弦函数）
这里只写出了反正弦函数由于此对应法则确定了一个多值函数，因此将此值域限制在［-π2，π2］，并称其为反正弦函数的主值（2）初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数。
2分段函数
（1）分段函数的基本形式
f（x）=f1（x），x∈I1，f2（x），x∈I2，fn（x），x∈In。
（2）隐含的分段函数
①**值函数
f（x）=|x|=x，x≥0，-x，x＜0，
其定义域是（-∞，+∞），值域是［0，+∞）。
②符号函数
f（x）=sgnx=1，x＞0，0，x=0，-1，x＜0，
其定义域是（-∞，+∞），值域是三个点的集合{-1，0，1}。
③取整函数
f（x）=[x]表示不超过x的大整数。
④大值、小值函数
y=max{f（x），g（x）}；y=min{f（x），g（x）}。
3隐函数
如果变量x和y满足方程F(x,y)=0，在一定条件下，当x取区间I内的任一值时，相应地总有满足该方程的**的y值存在，则这样确定的函数关系y=y(x)称为由方程F(x,y)=0确定的隐函数。
4由参数方程定义的函数
若参数方程x=φ（t），y=ψ（t）确定了y与x间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数。
5间接得到的函数
（1）含参数的极限式定义的函数；
（2）导函数；
（3）变上限积分函数；
（4）幂级数的和函数。
二、极限（一）极限的概念1数列极限设{xn}为一数列，a为一常数，则
limn→∞xn=a对任意的ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，有|xn-a|＜ε。
（1）数列极限limn→∞xn=a的含义：当n无限增大时，数列的值无限趋近于a。
（2）对极限过程n→∞要注意两点：一是这里的无穷一定是正无穷，二是n只能取正整数。
2函数极限
设函数f（x）的定义域为R，A为一个常数，则
limx→∞f（x）=A对任意的ε＞0，存在X＞0，使得当|x|＞X时，有|f（x）-A|＜ε。
类似可定义limx→+∞f（x）=A，limx→-∞f（x）=A。
（1）函数极限limx→∞f(x)=A的含义：当x的**值无限增大时，函数值无限
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