本书比较全面地介绍了现代科学与工程计算中常用的数值计算方法。全书共分11章,主要内容有:引论、计算方法的数学基础、MATLAB编程基础、方程求根、解线性方程组的直接法、解线性方程组的迭代法、函数插值、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法、矩阵特征值计算、函数优化计算。本书知识体系完整,既简要回顾了与计算方法有关的数学基础知识,又介绍了现代计算软件MATLAB,书中每个算法都配有结构化流程图,几乎所有算法都给出了MATLAB语言代码和MATLAB函数,部分算法给出了C语言代码,书后附有上机实验题目。可从华信教育资源网(www.hxedu.com.cn)免费下载的教学资源包括:电子教案、各章习题解答和模拟试题。

第1章 引论1 1.1 从数学到计算1 1.2 误差理论初步5 1.2.1 误差的来源5 1.2.2 误差的度量6 1.2.3 误差的传播9 1.2.4 数值稳定性11 1.3 数值计算的若干原则12 1.3.1 避免两个相近数相减12 1.3.2 避免用**值过小的数作为除数13 1.3.3 要防止大数“吃掉”小数13 1.3.4 简化计算步骤,提高计算效率14 1.3.5 使用数值稳定的算法15 本章小结16 习题117 第2章 计算方法的数学基础19 2.1 微积分的有关概念和定理19 2.1.1 数列与函数的极限19 2.1.2 连续函数的性质21 2.1.3 罗尔定理和微分中值定理21 2.1.4 积分加权平均值定理22 2.1.5 权函数和函数的内积23 2.1.6 正交函数系23 2.1.7 勒让德多项式25 2.2 微分方程的有关概念和定理26 2.2.1 基本概念26 2.2.2 初值问题解的存在**性28 2.3 线性代数的有关概念和定理28 2.3.1 线性相关和线性无关28 2.3.2 方阵及其初等变换30 2.3.3 线性方程组解的存在**性32 2.3.4 特殊矩阵33 2.3.5 方阵的逆及其运算性质35 2.3.6 矩阵的特征值及其运算性质36 2.3.7 对称正定矩阵39 2.3.8 对角占优矩阵40 2.3.9 向量的内积41 2.3.10 向量、矩阵和连续函数的范数41 2.3.11 向量序列与矩阵序列的极限46 本章小结47 习题247 第3章 MATLAB编程基础49 3.1 MATLAB R2018b简介49 3.2 MATLAB R2018b的工作环境51 3.2.1 MATLAB R2018b的工具箱51 3.2.2 MATLAB R2018b的命令行窗口53 3.2.3 MATLAB R2018b的工作区54 3.2.4 MATLAB R2018b的当前文件夹54 3.3 MATLAB的变量、常量和数据类型55 3.3.1 常量55 3.3.2 变量56 3.3.3 数据类型56 3.4 MATLAB的数值运算58 3.4.1 向量运算58 3.4.2 矩阵运算59 3.5 MATLAB的符号运算64 3.5.1 字符串运算64 3.5.2 符号表达式运算65 3.5.3 符号矩阵运算68 3.5.4 符号微积分运算69 3.5.5 符号方程求解71 3.6 MATLAB图形可视化73 3.6.1 绘制二维图形73 3.6.2 绘制三维图形74 3.7 MATLAB程序设计75 3.7.1 MATLAB程序的控制结构75 3.7.2 MATLAB文件78 3.7.3 MATLAB R2018b程序调试方法78 本章小结81 习题381 第4章 方程求根83 4.1 引言83 4.2 二分法84 4.3 迭代法87 4.3.1 不动点迭代87 4.3.2 迭代法的收敛性88 4.3.3 迭代法的改善95 4.4 牛顿迭代法96 4.4.1 牛顿迭代公式及其几何意义96 4.4.2 牛顿迭代公式的收敛性97 4.4.3 重根情形101 4.5 弦截法102 4.6 算法实现103 4.6.1 MATLAB编程实现103 4.6.2 MATLAB函数实现106 本章小结107 习题4108 第5章 解线性方程组的直接法110 5.1 引言110 5.2 高斯消去法111 5.2.1 顺序高斯消去法111 5.2.2 主元素高斯消去法115 5.2.3 高斯-约当消去法117 5.3 矩阵三角分解法119 5.3.1 高斯消去法与矩阵三角分解法119 5.3.2 直接三角分解法120 5.4 解三对角线性方程组的追赶法124 5.5 误差分析127 5.5.1 病态方程组与条件数127 5.5.2 病态方程组的解法130 5.6 算法实现131 5.6.1 MATLAB编程实现131 5.6.2 MATLAB函数实现135 本章小结137 习题5137 第6章 解线性方程组的迭代法139 6.1 引言139 6.2 雅**迭代法141 6.3 高斯-塞德尔迭代法142 6.4 迭代法的收敛性144 6.5 算法实现151 6.5.1 MATLAB编程实现151 6.5.2 MATLAB函数实现155 本章小结156 习题6156 第7章 函数插值159 7.1 引言159 7.1.1 插值问题159 7.1.2 插值多项式的存在**性160 7.2 拉格朗日插值161 7.2.1 线性插值与抛物插值161 7.2.2 拉格朗日插值163 7.2.3 插值余项与误差估计165 7.3 牛顿插值169 7.4 埃尔米特插值173 7.5 分段低次插值175 7.5.1 高次插值与龙格现象175 7.5.2 分段线性插值176 7.5.3 分段三次埃尔米特插值178 7.6 样条插值180 7.6.1 三次样条插值函数180 7.6.2 三次样条插值函数的求法182 7.7 离散数据的曲线拟合185 7.7.1 曲线拟合问题185 7.7.2 多项式拟合186 7.7.3 正交多项式拟合188 7.8 算法实现189 7.8.1 MATLAB编程实现189 7.8.2 MATLAB函数实现191 本章小结195 习题7195 第8章 数值积分与数值微分199 8.1 引言199 8.1.1 数值积分的必要性199 8.1.2 数值积分的基本思想200 8.1.3 代数精度200 8.1.4 插值型求积公式202 8.2 牛顿-柯特斯求积公式204 8.2.1 牛顿-柯特斯求积公式的导出204 8.2.2 牛顿-柯特斯求积公式的误差估计207 8.3 复合求积公式209 8.3.1 复合梯形求积公式209 8.3.2 复合辛普生求积公式210 8.4 外推算法与龙贝格算法212 8.4.1 变步长的求积公式212 8.4.2 外推算法214 8.4.3 龙贝格求积公式214 8.5 高斯求积公式218 8.5.1 高斯点与高斯求积公式218 8.5.2 高斯-勒让德求积公式219 8.5.3 高斯求积公式的稳定性和收敛性222 8.6 数值微分223 8.6.1 中点公式223 8.6.2 插值型微分公式225 8.7 算法实现227 8.7.1 MATLAB编程实现227 8.7.2 MATLAB函数实现230 本章小结233 习题8233 第9章 常微分方程初值问题的数值解法237 9.1 引言237 9.2 欧拉公式238 9.2.1 欧拉公式及其意义238 9.2.2 欧拉公式的变形239 9.3 单步法的局部截断误差和方法的阶242 9.4 龙格-库塔方法245 9.4.1 龙格-库塔方法的基本思想245 9.4.2 二阶龙格-库塔方法的推导246 9.4.3 经典四阶龙格-库塔方法249 9.5 单步法的收敛性和稳定性251 9.5.1 单步法的收敛性251 9.5.2 单步法的稳定性254 9.6 算法实现257 9.6.1 MATLAB编程实现257 9.6.2 MATLAB函数实现260 本章小结263 习题9264 第10章 矩阵特征值计算266 10.1 引言266 10.2 幂法及反幂法268 10.2.1 幂法268 10.2.2 反幂法271 10.3 QR方法272 10.3.1 反射变换272 10.3.2 矩阵的QR分解274 10.3.3 QR方法的实现275 10.4 雅**方法276 10.4.1 平面旋转矩阵276 10.4.2 雅**方法及其改进278 10.5 算法实现280 10.5.1 MATLAB编程实现280 10.5.2 MATLAB函数实现286 本章小结289 习题10290 第11章 函数优化计算291 11.1 引言291 11.2 一元函数优化计算292 11.2.1 牛顿法292 11.2.2 拟牛顿法294 11.2.3 黄金分割法294 11.3 多元函数优化计算296 11.3.1 多元函数有*优解的条件296 11.3.2 多元函数数值求解的原则297 11.3.3 梯度法298 11.3.4 牛顿法300 11.3.5 共轭方向法301 11.4 算法实现304 11.4.1 MATLAB编程实现304 11.4.2 MATLAB函数实现307 本章小结309 习题11309 附录A 计算方法实验310 实验1 方程求根311 实验2 解线性方程组的直接法312 实验3 解三对角线性方程组的追赶法313 实验4 解线性方程组的迭代法314 实验5 函数插值问题315 实验6 数值积分316 实验7 数值微分318 实验8 常微分方程初值问题的数值解法319 实验9 矩阵特征值计算320 实验10 函数优化计算321 参考文献323