成为一名**的数学教师，是每一位有责任心和事业心的数学教师的神圣使命。推动中国数学教育实践的良性发展，提高中国数学教育的质量，是每一位中国数学教育工作者的匹夫之责。现在的课程内容涉及的知识面广，难以全面掌握、深刻理解，使得广大的中学数学教师正面临着****的危机与挑战。

通常认为，整个数学历史上或明或暗地有柏拉图主义的影响。特别是19世纪，柏拉图主义在数学实践中几乎占据了统治地位。
柏拉图主义是这么一种观点：数学研究的对象尽管是抽象的，但却是客观存在的，而且它们是不依赖于时间、空间和人的思维而永恒存在的。数学家提出的概念不是创造，而是对这种客观存在的描述。
柏拉图（前427－前347）是有很大影响的古希腊唯心主义哲学家，他的老师苏格拉底和弟子亚里士多德，都是哲学史上有名的人物。他在政治上提出了“理想国”的理论，主张在理想国里人分为金、银与铜铁三等，奴隶是三等之外的牲畜，而**的统治者应当是他那样具有广博知识并善于深刻思考的“哲学王”。但是，那时当国王的人不学无术者还是不少的，他的政治理想不但没有实现，还被叙拉古国王抓起来贬为奴隶，幸亏他的一个学生把他赎了回来。他回到雅典后，办了一个被称为“柏拉图学园”的学校。这个学园存在了900年之久。
柏拉图认为：存在着两个世界。一个是人们可以看到、听到、摸到的由具体事物组成的实物世界；另一个是理智才能把握的理念世界。具体的实在世界是相对的、变化的，而理念世界则是**的、永恒的。
比如，像你我这样的具体的人，像我们坐的具体的椅子，属于实在世界。而抽象的“人”“椅子”，属于理念世界。理念世界是永恒的真实存在，实在世界不过是理念世界的幻影！
柏拉图很重视数学的研究。他认为，数和几何图形，都是永存于理念世界的**不变的东西。他主张通过研究数学来认识理念世界，甚至说认识不到数学重要性的人“像猪一样”。
他认为，数学概念，如1，2，3，是人生前灵魂中固有的东西，得自于理念世界。在生活中，由于具体经验的启发或通过学习，唤醒了沉睡的记忆，回忆起了理念世界的知识。
柏拉图的思想对后人有很大影响。许多**的数学家，像集合论的创始人康托，认为数学概念是独立于人类思维活动的客观存在，这与柏拉图的看法是一致的。

第1章 “万物皆数”观点的破灭与再生——**次数学危机与实数理论／1
1.1 毕达哥拉斯学派的信条——万物皆数
1.2 **个无理数
1.3 无理数之谜
1.4 连续性的奥秘
1.5 戴德金分割
1.6 连续归纳原理
1.7 “万物皆数”的再生
1.8 勾股定理的多种证明
1.9 无理数与**次数学危机
1.10 中国古代文化中的“万物皆数”
1.11 一分为二和一分为三

第2章 哪种几何才是真的——非欧几何与现代数学的“公理”／19
2.1 欧几里得的公理方法
2.2 欧几里得的几何定理是真理吗
2.3 非欧几何的发现
2.4 哪一个是真的
2.5 公理是什么
2.6 古今由圆外－点向圆作切线的不同
2.7 定义的多样性和局限性

第3章 变量?无穷小?量的鬼魂——第二次数学危机与极限概念／32
3.1 数学怎么描述运动与变化
3.2 瞬时速度
3.3 微分是量的鬼魂吗
3.4 无穷小量的再生
3.5 不用极限的微积分

第4章 自然数有多少——数学中的“实在无穷”概念／50
4.1 伽利略的困惑
4.2 康托，闯入无穷王国的先锋
4.3 希尔伯特的“无穷旅店
4.4 所有的无穷都一样吗
4.5 自然数究竟有多少
4.6 有理数的自白
4.7 素数无穷的不同表述
4.8 数学的严格

第5章 罗素悖论引起的轩然大波——第三次数学危机／67
5.1 逻辑－集合一数
5.2 罗素悖论
5.3 集合的层次理论
5.4 集合论的公理化
5.5 连续统假设
5.6 地平线仍在前方
5.7 悖论与危机

第6章 数是什么——对数学对象本质的几种看法／79
6.1 1是什么
6.2 柏拉图主义——数存在于理念世界
6.3 唯名论观点——数是纸上的符号或头脑中特定的概念
6.4 康德：数是思维创造的抽象实体
6.5 约定论的观点——数学规则不过是人的约定
6.6 逻辑主义——算术是逻辑的一部分
6.7 直觉主义——数学概念是自主的智力活动
6.8 形式主义——把数学化为关于有限符号排列的操作
6.9 争论与统一
6.10 存在与构造
6.11 0.9＝1吗

第7章 是真的，但又不能证明——哥德尔定理／98
7.1 哥德尔定理
7.2 说谎者悖论与理查德悖论
7.3 算术有多少种
7.4 数学的力量与局限
7.5 数学的局限与加密
7.6 数学的局限与博弈

第8章 数学与结构——布尔巴基学派的观点／109
8.1 在逻辑长链的背后
8.2 形形色色的加法
8.3 基本的结构
8.4 分析与综合的艺术
8.5 布尔巴基学派和新数运动

第9章 命运决定还是意志自由——必然性与偶然性的数学思考／125
9.1 两种对立的哲学观点
9.2 从偶然产生必然
9.3 从必然产生偶然
9.4 一场风暴或－口痰能影响民族的命运吗
9.5 什么叫必然?什么叫偶然
9.6 抽屉原理
9.7 五百年必有**兴

第10章 举例子能证明几何定理吗——演绎与归纳的对立与统一／143
10.1 例证法——用演绎支持归纳
10.2 几何定理也能用例子证明
10.3 进一步的思考
10.4 验证三角形内角和定理
10.5 **数学和近似数学
10.6 例证法与动态几何

第11章 计算机正在改变数学／155
11.1 四色定理的机器证明
11.2 计算机证明的定理可靠吗
11.3 数学和计算机共同发展
11.4 《九章算术》的算法思想
11.5 几何信息搜索系统简介
11.6 机器证明软件简介

第12章 数学与哲学随想／174
12.1 数学的领域在扩大，哲学的地盘在缩小
12.2 数学始终在影响着哲学
12.3 抽象与具体
12.4 涉及具体问题时，语言必须**严格
12.5 个别与一般
12.6 事物与概念
12.7 “我不需要这个假设
12.8 证实与证伪
12.9 数学世界是人的创造，但它是客观的
12.10 事物的总体性
12.11 变化中的不变
12.12 预言
12.13 “没有两件事物完全一样”
12.14 物极必反
12.15 论怀疑
12.16 量变与质变
12.17 罗素与“事素”
参考文献／201