本书是作者在清华大学数学科学系(1987—2003)及北京大学数学科学学院(2003—2009)给本科生讲授数学分析课的讲稿的基础上编成的。一方面,作者力求以近代数学(集合论,拓扑,测度论,微分流形和微分形式)的语言来介绍数学分析的基本知识,以使同学尽早熟悉近代数学文献中的表述方式。另一方面在篇幅允许的范围内,作者尽可能地介绍数学分析与其他学科(特别是物理学)的联系,以使同学理解自然现象一直是数学发展的重要源泉。全书分为三册。**册包括:集合与映射,实数与复数,极限,连续函数类,一元微分学和一元函数的Riemann积分;第二册包括:点集拓扑初步,多元微分学,测度和积分;第三册包括:Fourier分析初步,微分流形,重线性代数,微分形式和流形上的积分学。每章都配有丰富的习题,它除了提供同学训练和熟悉正文中的内容外,也介绍了许多补充知识。
本书可作为高等院校数学系攻读数学、应用数学、计算数学的本科生数学分析课程的教材或教学参考书,也可作为需要把数学当做重要工具的同学f例如攻读物理的同学)的教学参考书。

第1章 集合与映射
1.1 集合
1.2 集合运算及几个逻辑符号
1.3 映射
1.4 映射的乘积(或复合)
1.5 可数集
1.6 习题
1.7 补充教材一:关于自然数集合N
1.8 补充教材二:基数的比较
1.9 补充习题
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第2章 实数与复数
2.1 实数的四则运算
2.2 实数的大小次序
2.3 实数域的完备性
2.4 复数
2.5 习题
2.6 补充教材一:整数环z与有理数域Q的构筑
2.7 补充教材二:实数域R的构筑
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第3章 极限
3.1 序列的极限
3.2 序列极限的存在条件
3.3 级数
3.4 正项级数收敛性的判别法
3.5 幂级数
3.6 函数的极限
3.7 习题
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第4章 连续函数类和其他函数类
4.1 连续函数的定义及其局部性质
4.2 (有界)闭区间上连续函数的整体性质
4.3 单调连续函数及其反函数
4.4 函数列的一致收敛性
4.5 习题
4.6 补充教材:半连续函数及阶梯函数
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第5章 一元微分学
5.1 导数和微分
5.2 导数与微分的运算规则
5.3 可微函数的整体性质及其应用
5.4 高阶导数,高阶微分及Taylor公式
5.5 Taylor级数
5.6 凸函数
5.7 几个常用的不等式
5.8 习题
5.9 补充教材一:关于可微函数的整体性质
5.10 补充教材二:一维线性振动的数学表述
5.10.1 谐振子
5.10.2 阻尼振动
5.10.3 强迫振动
进一步阅读的参考文献
第6章 一元函数的Riemann积分
6.1 Riemann积分的定义
6.2 Riemann积分的简单性质
6.3 微积分学基本定理
6.4 积分的计算
6.5 有理函数的积分
6.6 可以化为有理函数积分的积分
6.6.1 R(x,■)的积分
6.6.2 R(x,根号ax2+bx+c)的积分
6.6.3 R(sinx,cosx)的积分
6.7 反常积分
6.8 积分在几何学,力学与物理学中的应用
6.8.1 定向区间的可加函数
6.8.2 曲线的弧长
6.8.3 功
6.9 习题
6.10 补充教材一:关于Newton—Leibniz公式成立的条件
6.11 补充教材二:Stieltje8积分
6.12 补充教材三:单摆的平面运动和椭圆函数
6.12.1 一维的非线性振动的例:单摆的平面运动
6.12.2 描述单摆平面运动的椭圆函数
6.13 补充教材四:上、下积分的定义
进一步阅读的参考文献
参考文献
名词索引

本书是清华大学数学科学系、北京大学数学学院多届本科生使用的数学分析讲义。内容新颖,选材与国外数学分析教材接轨。用以培养高素质的数学人才。全书共分6章,内容包括:集合与映射,实数与复数,极限,连续函数类,一元函数微分学,一元函数的黎曼积分。