本书共4章，介绍了群论基础、环论基础、域论基础、伽罗瓦理论的相关知识.本书适合高等学校数学相关专业师生及数学爱好者阅读参考.

**章 群论基础//1 §1 带有运算的集合 //1 1.1 代数运算的基本概念 //1 1.2 代数系统的特殊元素——单位元·零元//4 1.3 二元运算的一般性质——结合律·交换律·分配律 //6 1.4 逆运算·逆元 //10 1.5 代数系统的同构 //12 1.6 代数系统的同态 //14 §2 群的基本概念 //17 2.1 群的概念·群的例子 //17 2.2 群的性质·群的第二定义 //20 2.3 有限群的另一定义 //22 2.4 群元素的阶 //25 §3 变换群·循环群 //27 3.1 变换群 //27 3.2 置换·对称群 //33 3.3 循环群·整数加群与剩余类群 //37 §4 子群 //44 4.1 群的子集 //44 4.2 子群//45 4.3 交集与生成元 //47 4.4 生成系 //52 4.5 陪集 //55 4.6 循环群的子群//60 4.7 直积 //62 4.8 1阶到8阶群的概论 //68 4.9 乘积定理·双陪集 //74 §5 正规子群 //77 5.1 正规子群·单纯群 //77 5.2 商群//81 5.3 共轭类·**化子·正规化子 //83 5.4 群的同态·同态基本定理 //87 5.5 商群的子群 //91 5.6 两个同构定理 //94 5.7 群的自同构 //97 5.8 交换群的鉴定·换位子群 //100 §6 子群列 //102 6.1 正规群列与合成群列//102 6.2 合成群列 //105 6.3 可解群及其判定 //107 6.4 可解群的性质·有限群的情形 //109 §7 置换群理论 //112 7.1 S,的共轭类 //112 7.2 对换 //115 7.3 交代群 //118 7.4稳定子群 //123 7.5 可迁群 //126 7.6 非可迁群 //130 7.7 置换表示 //132 §8 有限群的素数幂子群 //136 8.1 柯西定理 //136 8.2 西罗定理 //138 8.3 推广 //141 第二章 环论基础//146 §1 环的基本概念 //146 1.1 环的概念 //146 1.2 环的性质 //148 1.3 ���换律·单位元·零因子·整环 //154 1.4 除环·域 //157 1.5 无零因子环的特征 //164 1.6 子环·环的同态 //166 1.7 商域 //169 §2 理想与环的同态 //172 2.1 理想 //172 2.2 理想的交与和·主理想 //174 2.3 理想的乘法 //178 2.4 理想的除法 //179 2.5 商环 //182 2.6 环的同态定理 //184 2.7 素理想和极大素理想 //186 2.8 环的直和 //190 §3 整环内的因子分解 //193 3.1 单位·不可分解元·素元 //193 3.2 元素的相伴 //197 3.3 **分解环的概念//199 3.4 **分解环的特征与性质 //201 3.5 理想与整除性 //204 3.6 主理想环 //206 3.7 欧氏环 //208 §4 多项式环 //211 4.1 交换环上的多项式环 //211 4.2 整环上的一元多项式环 //215 4.3 高斯整环的多项式扩张 //219 4.4 诺特环 //223 4.5 理想的既约分解 //227 §5 有序环和有序域 //229 5.1 环和域的有序化 //229 5.2 分离性和稠密性 //235 §6 布尔代数与格 //237 6.1 基本定义 //237 6.2 定律：同算术定律类比 //238 6.3 布尔代数 //240 6.4 其他基本定律的推导 //242 6.5 布尔多项式的标准型 //244 6.6 半序//247 6.7 格 //248 6.8 集合表示 //250 第三章 域论基础 //254 §1 域的扩张 //254 1.1 子域·扩域·素域 //254 1.2 添加 //257 1.3 单纯扩张·代数扩张与超越扩张 //259 §2 域的代数扩张 //261 2.1 域上的代数元素 //261 2.2 单纯扩张的存在性与**性 //263 2.3 次数与有限扩张 //266 2.4 有限扩张的基本定理 //268 2.5 多重代数扩张 //270 2.6 迹与范数 //272§3 分裂域·正规性 //276 3.1 分裂域 //276 3.2 正规扩域·分裂域的正规性 //279 3.3 代数闭包 //281 §4 素域上的单位根域·有限域 //286 4.1 单位根//286 4.2 分圆多项式 //288 4.3 有限域 //291 §5 可分与不可分扩张 //295 5.1 可分多项式与不可分多项式 //295 5.2 可分与(纯)不可分元素 //299 5.3 可分与不可分扩张·完全域及不完全域 //300 5.4 施坦尼茨定理·本原元素定理 //304 第四章 伽罗瓦理论 //310 §1 伽罗瓦群 //310 1.1 伽罗瓦群的概念 //310 1.2 群特征标·子群与子域 //312 1.3 伽罗瓦扩域·伽罗瓦群 //318 §2 多项式的伽罗瓦群 //320 2.1 多项式的伽罗瓦群的定义及可迁性 //320 2.2 多项式的伽罗瓦群的计算 //323 §3 伽罗瓦理论的基本定理 //327 3.1 伽罗瓦群的性质 //327 3.2 伽罗瓦理论的基本定理 //329 3.3 共轭的域·正规扩域的第二种定义 //332 3.4 共轭映射的个数 //334 3.5 应用：对称多项式基本定理和代数基本定理的证明 //337 §4 具有特殊群的正规扩域 //339 4.1 分圆扩域 //339 4.2 循环扩域 //343 4.3 可解扩域与根式扩张 //349 §5 代数方程的根号解问题 //352 5.1 代数方程的根号解 //352 5.2 n次一般方程 //354 5.3 二次、三次与四次方程 //357 5.4 有理数域上的素数次分圆方程 //362 5.5 素数次的多项式 //365 5.6 圆规与直尺作图//370 参考文献//374