地球上的沙粒是否比宇宙中的星星更多？是否有足够的纸来写下一个古戈尔普勒克斯（googlolplex）的数字？ 在古代，只有像阿基米德这样的少数学者才能领悟到非常大的数字与现实世界有关。但今天，我们普通人对数十亿和数万亿这样的数量都已经见怪不怪了。我们都以为数是无穷无尽的，只要一直数下去，就永远也数不到头，那么还可能存在所谓“*大的数”吗？ 为了找出答案，本书展开了一场史诗般的探索，从我们身体内的细胞到宇宙中的恒星，再到所有黑洞蒸发所需的时间，大数无处不在。每当我们得到一个大数，另一个意想不到的更大的数就会出现，挑战我们的想象与计算极限。从阿基米德数、阿克曼函数到康威链式箭号表示法、高德纳向上箭号表示法，从庞���莱、图灵、希尔伯特到康托尔、哥德尔，从指数、数论到图论，这些伟大数学家思考和发现大数的故事帮助我们丈量世界，扩大自己的思考疆域。 欢迎加入寻找难以理解的巨大数字的奇妙之旅！

第1章 沙粒和星星
地球上的沙粒和宇宙中的星星哪个多？在远离人造光的晴朗夜晚，单凭肉眼你至少可以看到一两千颗星星；如果当晚没有月亮而你的视力又特别好的话，你可以看到将近四千颗。一把沙子里的沙粒要比这多得多（见图 1-1）。太空之广袤，令人望而生畏。强大望远镜的观测表明，太空包含大量星系，每个星系都拥有数十亿颗星星；我们星球上的沙漠、海滩和海床里都含有大量沙粒，同样令人眼花缭乱。那么，在这场数字游戏中，沙粒和星星谁会胜出呢？
美国夏威夷大学的研究人员在 2003 年的一项研究中估算出，地球上沙粒的数量为750 亿亿，或者说75 后面跟着17 个0。至于整个可观测宇宙中的星星，他们得出的数字为 700 万亿亿，相当于一颗沙粒对应约一万颗星星。
古希腊数学家和科学家阿基米德（Archimedes）也对这类问题感兴趣。公元前 3 世纪，他写了一篇后来被称为《数沙者》（The Sand Reckoner）的短文给锡拉库萨（又译作叙拉古）国王革隆（Gelon）。这篇面向非专业人士的短文既准确又清晰，有时也被认为是**篇研究说明性论文。阿基米德在文中提出了一个问题：填满整个宇宙需要多少颗沙粒。
当然了，这个问题的答案取决于沙粒的平均大小和宇宙的大小。按照阿基米德非常慷慨（甚至不切实际）的估算，一粒小米粒可以容纳一万颗沙粒，这使得一颗沙粒的大小几乎可以忽略不计。他还估算出，40 粒小米粒并排放在一起，可以达到一根手指的宽度，大约 19 毫米。这样，一个直径为一指宽的球体可以容纳 6. 4 亿颗沙粒。
阿基米德又根据前辈阿利斯塔克（Aristarchus）的经典日心说，估计了宇宙的大小。在日心说所描述的太空模型中，地球绕太阳运行，恒星固定在一个同样以太阳为**的球体上，但距离要远得多。当地球从太阳的一侧运行到另一侧时，古希腊人无法辨察出天空中恒星相对位置的任何变化——这一事实即所谓的视差，它意味着恒星与太阳的距离必须有一个*小值。阿基米德据此估算出了当时已知宇宙的*小可能直径——写成现代单位，大约为 2 光年。
今天，我们可以很容易地通过数学计算得出，要填满一个直径 2 光年的球体需要多少颗阿基米德估算大小的沙粒。答案约为 1 后面 63 个零，也可以紧凑地写成 1063——
10×10×10×…×10（有 63 个 10 相乘）。而阿基米德面临的问题是，在他那个时代，还没有我们这种表示大数的简便方法。
我们现在使用的从 0 到 9 的阿拉伯数字，大约在其 800 年后才出现（而且还是出现在印度，不是在阿拉伯地区）。位值制记数法，即根据同一符号的不同位置来表示其数量级（例如 30、300和 3000 中的 3）的方法，彼时在古巴比伦还处于起步阶段，尚未传入古希腊。况且当时还没有像指数记数法这样的东西，即一个数自乘多少次可以写成上标（即 1063 中的 63）。
在阿基米德开始计算宇宙沙粒时，古希腊人还是用字母表中的字母来表示数的。我们现在的数——1 到9，10 的倍数（10到 90）和 100 的倍数（100 到 900），那时都用不同的字母表示。我们熟悉的 24 个希腊字母，从 α 到 ω（今天的希腊语中仍在使用），必须辅以取自更古老的语言和方言中的其他字母，才能提供足够的记号。α 到 θ 代表 1 到 9，ι 到 φ（源自腓尼基语）代表 10 的倍数（10 到 90），ρ 到 ?（在爱奥尼亚东部一些方言中使用）代表 100 的倍数（100 到 900）。古希腊人不会在不同的位置重复使用同一个字母，例如，222 会写成 σκβ（＝200 ＋ 20 ＋ 2）。对于 1000 的倍数（1000 到 9000），一些字母会重复使用，但须另附各种标记。这就是古希腊的记数系统所能达到的极限，除了 murious——它是已定义的*大的单个单位，写作 μ 的大写 Μ，相当于我们今天的 10 000。罗马人称它为 myriad，这一名称后来被英语吸收，但含义发生了变化，表示“无数的”或非常大（但未定义）的数。
使用上述字母串记数的方法，古希腊人可以写出比 murious更大的数，但也只能是 M 的倍数。例如，1 234 567 会写成ρκγΜ, δφξζ（123×10 000 ＋ 4567）。但对于超过几亿的数来说，这种记数法很快就后继乏力。
阿基米德意识到，要表示他在计算宇宙沙粒时所产生的那种巨大的数，必须想出一套全新的数字命名系统。阿基米德首先将所有不超过 myriad myriad 的数定义为“**阶”的数——对我们来说这似乎并不是一个很大的进步，因为我们可以很容易地将myriad myriad 写成 104×104，也就是 108（1 亿）——然后从这里开始无限延续下去。但是阿基米德开始他的大数项目时，并没有像我们的指数记数法这样用指数来表示一个数自乘次数的东西。
在将所有不超过 myriad myriad 的数定义为**阶的数之后，阿基米德继而考虑了介于 myriad myriad 和 myriad myriad 乘以myriad myriad（1 后面跟着 16 个 0，或者用现代记数法是 1016）之间的数，并将这些数称为“第二阶”的数。之后他依此类推，以同样的方式定义了“第三阶”“第四阶”的数——后一阶都比前一阶大 myriad myriad 倍。*终，他达到了“第 myriad myriad阶”的数，换句话说，在我们的指数记数法中，是 108 自乘 108
次，即 108 的 108 次方，等于 10800 000 000。他将所有这些数定义为“**周期”的数，如果将其中*大的数完整写下来，会有8 亿位。他把 10800 000 000 这个数本身作为“第二周期”的跳板，以它为起点再次开始这个过程。他用同样的方法定义了第二周期里的阶，每个新的阶都比前一阶大 myriad myriad 倍。到“第myriad myriad 周期”结束时，阿基米德得到了 myriad myriad 的myriad myriad 乘以 myriad myriad 次方这么大的数，我们可以将它写成 1080 000 000 000 000 000，即 10 的 8 亿亿次方。
请记住，阿基米德并不知晓我们书写大数的紧凑写法，古希腊数学中甚至没有零的概念。他从一个为超过几亿的数命名都困难的系统出发，创造了一种可以描述在 10 进制下有 8 亿亿位的数的方法。
事实证明，在数沙项目中，阿基米德并不需要这么大的数。利用他对一颗沙粒和整个宇宙大小的估计，阿基米德得出的数只达到了**周期的第八阶。用指数记数法，仅仅 8×1063 颗阿基米德估算大小的沙粒就足以填满希腊人认知里直径 2 光年的宇宙。即便使用现代更大的估计，可观测宇宙的直径为 920 亿光年，填满它也用不到 1095 颗沙粒——而这个数刚刚才达到阿基米德**周期的第十二阶。
《数沙者》是*前沿的工作。阿基米德不仅在有限的数据条件下提供了一幅与我们现在所知*接近的宇宙图景，而且发明了一种描述大数的全新方法。阿基米德是**个在没有现代记数法的情况下解决了命名和操作大数问题的人。他使用以 10 000 为底的数字系统，有效地开创了幂运算——即将一个量提升到另一个量的幂次的过程。他还发现了同底数幂相乘、指数相加的规律，即对于任意的数 x，m，n，有 xm×xn ＝ xm n。例如 32×33 ＝ （3×3）×（3×3×3）＝ 35。
阿基米德**个证明了人有可能超越其时代传统——在他所处的那个时代，大数传统上被简单地称为“无数”。这种处理方式在描述沙粒和星星时尤为明显。比阿基米德更早的古希腊诗人品达（Pindar）在他的《奥林匹亚颂》第二首（Olympus Ode Ⅱ）中写道：“沙粒无法计数。”希腊语中甚至还有一个词 psammakósioi（字面意思“沙百”），就是用来表示“不可数的”。《圣经》的作者也放弃了沙粒和星星的计数。《圣经》里有 21 处提到不可能计算出沙粒的数量。《旧约·创世记》（32：12）中说：“海边的沙，多得不可胜数。”《新约·希伯来书》（11：12）更是将沙粒和星星混为一谈：“如同天上的星那样众多，海边的沙那样无数。”
正如我们所见，阿基米德并没有把自己局限在海边甚至整个地球的沙粒上。他想象整个宇宙都充满了小到几乎看不见的沙粒，这样就保证了同时代没有人能超过他估算的数。几百年后，世界另一个地方的知识分子，出于截然不同的目的，也写了一些关于大数的东西。如果能知道阿基米德会如何看待后人的努力，那将是一件很有意思的事情。
东方哲学，尤其是佛教，一直着迷于空间、时间和心灵的广袤。因此，这些思想体系的学者们*终转变观念，开始在*广大的宇宙尺度上用数来表示事物的年龄或程度，也就
不足为奇了。写于公元 3 世纪的大乘佛教经典之一《方广大庄严经》中，有一段发生在已经去世数百年的佛陀（Gautama Buddha）和神秘数学家阿周那（Arjuna）之间的对话。佛陀在回答阿周那的问题时，阐述了一个基于拘胝（koti，又作拘梨，梵语“一千万”）的数值系统，令人晕头转向。佛陀在每一步都会说出一个百倍于上一步的数：1 阿由多（ayuta）是 100 拘胝，1 尼由多（niyuta）是 100 阿由多；以此类推，直到怛罗络叉（tallakshana），它等于 1 后面跟着 53 个 0。佛陀解释说，在怛罗络叉的范围之外，还有一个阇阿伽罗摩尼（dvajagravati），等于1099，接着是其他 4 个递增的层级，直到随入极微尘波罗摩呶罗阇（uttaraparamanurajahpravesa），相当于 10421。?

序 言 第1章 沙粒和星星 第2章 现实的极限 第3章 数学无界 第4章 向高处，向远处 第5章 一掠而过的g数 第6章 康威链 第7章 阿克曼和递归的力量 第8章 如果可以的话，算一算！ 第9章 无穷之事 第 10 章 快速增长 第 11 章 不要计算！ 第 12 章 大数数学家的奇异世界 第 13 章 超越之桥 第 14 章 *大的数 致 谢 附 录 人名对照表 延伸阅读 参考文献 译后记