本书是专门为提高考研学生线性代数解题能力而编写的训练讲义.本书在分析线性代数的历年考研真题以及参考近年来各大考研名师模拟试卷中的精彩好题的基础上,将线性代数考查的**和难点内容分成12个专题进行讲解,每个专题都配有适量的典型例题及针对性习题,力求做到让考生“看一个专题,就吃透一个专题”,彻底学会线性代数的解题方法和技巧.本书既紧贴考研真题的命题风格,又能直击考生的复习盲区,帮助考生串联起整个线性代数的知识网络,有利于考生快速提高线性代数的解题能力. 本书可作为考研冲刺阶段线性代数解题训练的讲义,也适用于线性代数期末考试的复习.

第1讲抽象行列式与矩阵的运算 一、 重要结论归纳总结 (一) 与转置矩阵相关的结论 (二) 与逆矩阵相关的结论 (三) 与伴随矩阵相关的结论 (四) 与正交矩阵相关的结论 (五) 与特征值和特征向量相关的结论 二、 典型例题分类讲解 考法一考查矩阵乘法的逆用及其与相似理论的结合 考法二考查转置矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、正交矩阵的基本公式及 恒等变形 考法三考查行列式与特征值的关系 三、 配套作业 第2讲矩阵高次幂的计算 一、 重要结论归纳总结 (一) 秩一矩阵的分解 (二) 相似对角化在矩阵求幂中的应用 (三) 凯莱哈密顿定理 二、 典型例题分类讲解 考法一考查找规律法 考法二考查秩一矩阵的分解 考法三考查二项式��开定理 考法四考查初等矩阵的幂 考法五考查相似对角化 考法六考查凯莱哈密顿定理 三、 配套作业 第3讲抽象线性方程组的求解 一、 重要结论归纳总结 (一) 线性方程组解的结构与性质 (二) 线性方程组与向量组的关系 二、 典型例题分类讲解 考法一考查线性方程组解的结构与性质 考法二考查A*x=0与A的关系、Ax=0与A*的关系 考法三考查线性方程组的解与向量组线性表示的关系 考法四考查“已知线性方程组的解,反求线性方程组” 考法五考查系数矩阵为分块矩阵的抽象线性方程组的求解 考法六考查线性方程组与向量组相结合的证明 考法七考查线性方程组与特征值和特征向量的结合 三、 配套作业 第4讲向量组的线性相关性 一、 重要结论归纳总结 二、 典型例题分类讲解 考法一考查通过逆用矩阵乘法证明向量组线性无关 考法二考查利用定义证明向量组线性无关 考法三考查利用秩证明向量组线性无关 三、 配套作业 第5讲线性方程组的公共解与同解问题 一、 重要结论归纳总结 (一) 线性方程组的公共解问题 (二) 齐次线性方程组的同解问题 (三) 非齐次线性方程组的同解问题 二、 典型例题分类讲解 考法一考查线性方程组的公共解问题 考法二考查齐次线性方程组的同解问题 考法三考查非齐次线性方程组的同解问题 三、 配套作业 第6讲矩阵与向量组的秩 一、 重要结论归纳总结 (一) 矩阵秩的等式与不等式 (二) 与向量组的秩相关的重要结论 (三) 线性方程组与矩阵的秩 (四) 相似理论与矩阵的秩 二、 典型例题分类讲解 考法一考查矩阵秩的等式的证明 考法二考查矩阵秩的不等式的证明 考法三考查矩阵与向量组的秩、矩阵等价及向量组等价 三、 配套作业 第7讲特征值与特征向量 一、 重要结论归纳总结 二、 典型例题分类讲解 考法一考查特征值与特征向量的定义 考法二考查特征值与特征向量相关的重要性质和结论 三、 配套作业 第8讲一般矩阵的相似对角化 一、 重要结论归纳总结 二、 典型例题分类讲解 考法一考查具体矩阵的相似对角化 考法二考查抽象矩阵的相似对角化 考法三考查两个矩阵相似的判定 考法四考查在已知特征值与特征向量的条件下反求矩阵 三、 配套作业 第9讲实对称矩阵的相似对角化 一、 重要结论归纳总结 (一) 实对称矩阵的独特性质 (二) 实对称矩阵的相似对角化步骤 (三) 谱分解定理 二、 典型例题分类讲解 考法一考查实对称矩阵相似对角化的相关问题 考法二考查由特征值和特征向量反求矩阵 三、 配套作业 第10讲利用正交变换法将二次型化为标准形 一、 重要结论归纳总结 二、 典型例题分类讲解 考法一考查利用正交变换法将二次型化为标准形 考法二考查利用谱分解定理反求矩阵 考法三考查正交变换下特征值与特征向量的对应关系 考法四考查利用正交变换实现两个二次型的相互转化 三、 配套作业 第11讲利用配方法将二次型化为标准形 一、 重要结论归纳总结 二、 典型例题分类讲解 考法一考查化二次型为标准形的配方法 考法二考查配方法中线性变换的可逆性 三、 配套作业 第12讲二次型的正定性 一、 重要结论归纳总结 (一) 二次型正定的充要条件 (二) 二次型正定的必要条件 (三) 二次型负定的充要条件 二、 典型例题分类讲解 考法一考查具体矩阵正定性的判定 考法二考查抽象矩阵正定性的判定 三、 配套作业 配套作业答案 参考文献