**数学**教师王志江根据多年的教学实践和扎实的理论研究，结合培训教师的经验，根据认知发生学，深入分析儿童心理发展过程，设计了基于儿童认知发展水平的数学教学课程。本书是其六年级上学期分册，由王志江老师围绕“分数乘法”“ 位置与方向（二）”“分数除法”“比”“圆”“百分数（一）”“折线统计图”“扇形统计图”这八大核心数学观念，进行课程解读与设置，并附有贞元教育小学数学**教师宋亚男执教的课堂实录，生动地展现了如何让六年级学生通过操作活动、游戏体验、课堂对话等，培养起数学观念，掌握基础数学知识，快乐地学习数学。 本书具有很强的操作性和实用性，适合数学教师、师范大学数学系的学生阅读，也适合广大家长以及所有对基础数学教育感兴趣的有识之士阅读。 “玩游戏，学数学”系列丛书深入浅出，是数学教师培训教材**。

**章 分数乘法 **节 学生怎样建构生成分数乘法观念 一、学生已有的分数乘法观念具有怎样的发展水平 评估题组： 如果 n ，m都是整数（非 0 自然数），那么， 的含义是什么？请举例 说明。 分数可以参与哪些类型的运算？请举例说明。 按照从特殊到一般的顺序，你能列举出哪些不同类型的分数乘法运 算？每种类型对应的除法运算的含义是什么？ 请提出你感兴趣的新问题。 评估对象： 浩（准六年级学生）（参与第 1 题的评估游戏） 评估时间： 2017 年 9 月 2 日 评估对象： 瀚（准六年级学生）（参与第 2 、3 题的评估游戏） 评估时间： 2020 年 7 月 18 日 评估过程： 师： 我们先看第 1 题，你是怎么思考的？ 浩： 将整体 1 平均分成 n 份，取其中的 m 份就是 。 师： 能用一种运算表示上述关系吗？ 浩： 可以。 m 个 ，所以， =m × 。 师： 可以用加法算式表示吗？ 浩：（稍加思考之后）不可以。 师： 为什么？ 浩： 不知道 m 到底是多少啊！ 师： 如果 m=3 呢？ 浩： 这就可以了， = 师： 如果 m=100 呢？ 浩： 也可以，就是要写 100 个 连加，太麻烦了！ 师： 能否简便一点呢？ 浩： 除非中间用省略号。 经过讨论修改之后，结果如下： = …… n n n n 100 个 师： 现在 可以用加法算式表示吗？ 浩： 当然！（结果如下。） m = …… n n n n m个 浩： 我好像在哪里看到过，应该可以表示成 m ÷n 吧？ 师： 是吗？ m ÷n 表示什么含义？ 浩：从除法的角度讲，有两种含义。**是“平均分”，也就是将 m 平均 分成 n 份， 其中的 1 份是多少。第二是“包含除”，也就是 m 里面包含了多少 个 n。 师： 从“平均分”的角度讲，其中的 1 份到底是多少呢？ 浩：就是 m ÷n 的“结果”，如果用“m ÷n= ？ ”表示，那么，“结果”就 是等式中的“？”。 吗？ 浩： 嗯……应该相等，但是好像又不等。到底是怎么回事呢？ 师： 你的疑问是什么？ 浩：从分数的角度讲， 师：是啊，这到底是怎么回事呢？把 作为“分数单位”时，你是将谁平均分成了 n 份？ 浩：哦， 我明白了！从分数的角度讲，是把单位“1”平均分成 n 份， 其 中一份是 ，取出其中的 m 成了 n 份， 而 m 实际上就是 m 个单位“1”，所以这时候的“一份”就相当于 前面的“m 份”了。 师： 你真棒！ 师： 瀚同学，现在咱们一起讨论第 2 题吧，先说说你的想法。 瀚： 分数可以进行加法和减法运算，这个太简单了，就不用讨论了吧？ 师： 好的，那我们就直接讨论第 3 题吧！ 瀚： 分数可以乘整数，例如： ×3= ，4× = = 。 师： 为什么？你的根据是什么？ 瀚：**个算式就是 3 个 相加，结果是 ；第二个算式是 4 个 相加， 结果是，约分之后是 。 师： 嗯，的确比较简单啊！能推广到更一般的情形吗？ 瀚：可以，那就是分数乘分数了，比如“ × = ？ ”这个需要画图理 解（并画图如下）。 （1） （2） 师： 请解释一下。 瀚：图（1）的意思是将整体 1 平均分成 4 份，取其中的 3 份，就是 。图 （2） 的意思是在图（1）的基础上，再横向将整体 1 的 平均分成 5 份，取 其中的 1 份；然后观察两次操作的“重叠部分”，相当于是将整体 1 平均分成 了 20，取出其中的 3 份，所以，结果就是 。 师： 很好！你能将这个“特例”推广到“一般”吗？ 瀚： 可以，那就是“ × = ？”，结果应该是 。 师： 为什么？ 瀚： 也可以画图理解，如下。 b 份 b 份 c 份 d 份 a 份 a 份 （3） （4） 图（3）表示将整体 1 平均分成 a 份， 取其中的 b 份， 即为；图（4） 表 示在图（3）的基础上，再横向将 平均分成 c 份，取其中的 d 份；这样一来， 就相当于将整体 1 平均分成了 ac 份，取其中的 bd 份，所以，结果就是 。 师： 很好，你能将你发现的“规律”用一句话表示出来吗？ 瀚： 可以。 两个分数相乘，分母乘分母作为结果的分母，分子乘分子作为结果的分子。 师： 这个规律适用于前面的“特例”吗？ 瀚： 适用的，因为整数可以看作“分母为 1 的特殊的分数”。 师： 能写出这些乘法算式对应的除法算式吗？ 瀚： 能。 ÷ = ， ÷ = ； ÷ = ， ÷ = 。 师： 这些除法运算正确吗？ 瀚： 当然正确。 师： 为什么？ 瀚： 乘除互逆啊！ 师： 好的，今天的讨论就到此结束吧。

001 / 序言 001 / 自序 001 / 前言 **章 分数乘法 002 / **节 学生怎样建构生成分数乘法观念 002 / 一、学生已有的分数乘法观念具有怎样的发展水平 006 / 二、学生已有的分数乘法观念可能与哪些新问题产生认知冲突 007 / 三、如何协助学生化解可能遇到的认知冲突 013 / 四、认知冲突化解后，学生已有的分数乘法观念对未来学习会产生怎 样的影响 015 / 第二节 分数乘法单元课堂实录 015 / **阶段——分数乘法 019 / 第二阶段——分数乘整数（1） 024 / 第三阶段——分数乘整数（2） 024 / 第四阶段——分数乘分数（1） 032 / 第五阶段——分数乘分数（2） 032 / 第六阶段——分数乘小数 034 / 第七阶段——分数的四则混合运算（1） 040 / 第八阶段——分数的四则混合运算（2） 041 / 第九阶段——实际应用 第二章 位置与方向（二） 054 / **节 学生怎样建构生成方位观念 054 / 一、学生已有的方位观念具有怎样的发展水平 058 / 二、学生已有的方位观念可能与哪些新问题产生认知冲突 059 / 三、如何协助学生化解可能遇到的认知冲突 062 / 四、认知冲突化解后，学生已有的方位观念对未来学习会产生怎样的影响 064 / 第二节 位置与方向单元课堂实录 064 / **阶段——预热 071 / 第二阶段——静态的位置与方向 071 / 第三阶段——动态的位置与方向 第三章 分数除法 074 / **节 学生怎样建构生成分数除法观念 074 / 一、学生已有的分数除法观念具有怎样的发展水平 077 / 二、学生已有的分数除法观念可能与哪些新问题产生认知冲突 078 / 三、如何协助学生化解可能遇到的认知冲突 082 / 四、认知冲突化解后，学生已有的分数除法观念对未来学习会产生怎 样的影响 083 / 第二节 分数除法课堂实录 083/ **阶段——分数乘法的逆运算 083 / 第二阶段——分数除以整数 086 / 第三阶段——分数除以分数 094 / 第四阶段——混合运算 108 / 第五阶段——实际应用问题（ 1） 118 / 第六阶段——实际应用问题（ 2） 第四章 比 120 / **节 学生怎样建构生成比观念 120 / 一、学生已有的比观念具有怎样的发展水平 122 / 二、学生已有的比观念可能与哪些新问题产生认知冲突 123 / 三、如何协助学生化解可能遇到的认知冲突 127 / 四、认知冲突化解后，学生已有的比观念对未来学习会产生怎样的影 响 128 / 第二节 比单元课堂实录 128 / **阶段——比在生活中的含义 131 / 第二阶段——比的定义 136 / 第三阶段——比的基本性质和化简比 139 / 第四阶段——比的应用（ 1） 143 / 第五阶段——比的应用（ 2） 第五章 圆 150 / **节 学生怎样建构生成圆观念 150 / 一、学生已有的圆观念具有怎样的发展水平 153 / 二、学生已有的圆观念可能与哪些新问题产生认知冲突 155 / 三、如何协助学生化解可能遇到的认知冲突 160 / 四、认知冲突化解后，学生已有的圆观念对未来学习会产生怎样的影 响 161 / 第二节 圆单元课堂实录 161 / **阶段——圆的奥秘 167 / 第二阶段——圆的周长 176 / 第三阶段——圆的面积 183 / 第四阶段——扇形 第六章 百分数（一） 192 / **节 学生怎样建构生成百分数观念 192 / 一、学生已有的百分数观念具有怎样的发展水平 194 / 二、学生已有的百分数观念可能与哪些新问题产生认知冲突 195 / 三、如何协助学生化解可能遇到的认知冲突 199 / 四、认知冲突化解后，学生已有的百分数观念对未来学习会产生 怎样的影响 200 / 第二节 百分数（一）单元课堂实录 200 / **阶段——预热 205 / 第二阶段——百分数、分数与小数之间的互化 第七章 折线统计图 210 / **节 学生怎样建构生成统计（折线统计图）观念 210 / 一、学生已有的统计（折线统计图）观念具有怎样的发展水平 219 / 二、学生已有的统计（折线统计）观念可能与哪些新问题产生认知冲突 219 / 三、如何协助学生化解可能遇到的认知冲突 222 / 四、认知冲突化解后，学生已有的统计（折线统计图）观念对未来学习会产生怎样的影响 224 / 第二节 折线统计图单元课堂实录 224 / **阶段——如何确定营养餐菜谱 227 / 第二阶段——折线图 231 / 第三阶段——复式折线图 234 / 第四阶段——综合运用 第八章 扇形统计图 236 / **节 学生怎样建构生成统计（扇形统计图）观念 236 / 一、学生已有的统计（扇形统计图）观念具有怎样的发展水平 239 / 二、学生已有的统计（扇形统计图）观念可能与哪些新问题产生认知冲突 239 / 三、如何协助学生化解可能遇到的认知冲突 244 / 四、认知冲突化解后，学生已有的统计（扇形统计图）观念对未来学习会产生怎样的影响 245 / 第二节 扇形统计图单元课堂实录