本书分为三大部分《致知》《论学》《为用》。作者将抽象高深的数学原理进行创造性的通俗化解析，深入浅出，娓娓道来，引人入胜。该作品受到国际数学界的高度赞赏，是不可多见的科普佳作。

宇宙之大，宇宙的形态，也只有通过数学才能说得明白.天圆地方之说，就是古代人民用几何形态来描绘客观宇宙的尝试.这种“苍天如圆盖，陆地如棋局”的宇宙形态的模型，后来被航海家用事实给否定了.但是，我国从理论上对这一模型提出的怀疑要早得多，并且也同样地有力.论点是：“混沌初开，乾坤始奠，气之轻清上浮者为天，气之重浊下凝者为地.”但不知轻清之外，又有何物?也就是圆盖之外，又有何物?三十三天之上又是何处?要想解决这样的问题，就必须借助于数学的空间形式的研究. 四维空间听来好像有些神秘，其实早已有之，即以“宇宙”二字来说，“往古来今谓之宙，四方上下谓之宇”(《淮南子·齐俗训》)就是宇是东西、南北、上下三维扩展的空间，而宙是一维的时间.牛顿时代对宇宙的认识也就是如此.宇宙是一个无边无际的三维空间，而一切的日月星辰都安排在这框架中运动.找出这些星体的运动规律是牛顿的一大发明，也是物理模型促进数学方法，而数学方法用来说明物理现象的一个好典范.由于物体的运动不是等加速度，要描绘不是等���速度，就不得不考虑速度时时在变化的情况，于是乎微商出现了.这是刻画加速度的好工具.由牛顿当年一身而二任焉，既创造了新工具——微积分，又发现了万有引力定律.有了这些，宇宙间一切星辰的运动初步统一地被解释了.行星凭什么以椭圆轨道绕日而行的，何时以怎样的速度达到何处等，都可以算出来了. 有人说西方文明之飞速发展是由于欧几里得几何的推理方法和进行系统实验的方法.牛顿的工作也是逻辑推理的一个典型.他用简单的几条定律推出整个的力学系统，大至解释天体的运行，小到造房、修桥、杠杆、称物都行.但是人们在认识自然界时建立的理论总是不会一劳永逸**无缺的，牛顿力学不能解释的问题还是有的.用它解释了行星绕日公转，但行星自转又如何解释呢?地球自转**24小时有昼有夜，水星自转周期和公转一样，半面永远白天，半面永远黑夜.一个有名的问题：水星进动每百年42″，是牛顿力学无法解释的. 爱因斯坦不再把“宇”“宙”分开来看，也就是时间也在进行着.每一瞬间三维空间中的物质在占有它一定的位置.他根据麦克斯韦洛伦兹的光速不变假定，并继承了牛顿的相对性原理而提出了狭义相对论.狭义相对论中的洛伦兹变换把时空联系在一起，当然并不是消灭了时空特点.如向东走三里，再向西走三里，就回到原处，但时间则不然，共用了走六里的时间.时间是一去不复返地流逝着.值得指出的是有人推算出狭义相对论不但不能解释水星进动问题，而且算出的结果是“退动”.这是误解.我们能算出进动28″，即客观数的三分之二.另外，有了深刻的分析，反而能够浅出，连微积分都不要用，并且在较少的假定下，就可以推出爱因斯坦狭义相对论的全部结果. 爱因斯坦进一步把时、空、物质联系在一起，提出了广义相对论，用它可以算出水星进动是43″，这是支持广义相对论的一个有力证据，由于证据还不多，因此对广义相对论还有不少看法，但它的建立有赖于数学上的先行一步.如先有了黎曼几何.另一方面它也给数学提出了好些到现在还没有解决的问题.对宇宙的认识还将有多么大的进展，我不知道，但可以说，每一步都是离不开数学这个工具的.

**部分致知 从杨辉三角谈起 / 003 从祖冲之的圆周率谈起 / 043 从孙子的“神奇妙算”谈起 / 076 数学归纳法 / 097 谈谈与蜂房结构有关的数学问题 / 141 三分角问题 / 174 《全国中学数学竞赛题解》前言 / 182 天才与锻炼 ——从沙昆塔拉快速计算所想到的 / 191 第二部分论学 数学是我国人民所擅长的学科 / 201 谈谈同学们学科学的几个问题 / 206 和同学们谈谈学习数学 / 210 我从事科学研究工作的体会 / 212 写给向科学堡垒进攻的青年们 / 218 聪明在于学习，天才由于积累 / 221 学·思·锲而不舍 / 228 取法乎上，仅得乎中 / 235 和青年谈学习 / 238 学与识 / 243 学习和研究数学的一些体会 / 249 第三部分为用 大哉数学之为用 / 261 数学的用场(五则) / 273 统筹方法平话及补充 / 283 优选法平话及其补充 / 328