代码和数学是相知相惜的好伙伴，它们基于共同的理性思维，数学公式的推导可以自然地在编写代码的过程中展开。本书带领程序员使用自己熟知的工具，即代码，来理解机器学习和游戏设计中的数学知识。通过Python代码和200多个小项目，读者将掌握二维向量、三维向量、矩阵变换、线性方程、微积分、线性回归、logistic回归、梯度下降等知识。

第 1章 通过代码学数学 1 1.1 使用数学和软件解决商业问题 2 1.1.1 预测金融市场走势 2 1.1.2 寻找优质交易 4 1.1.3 构建三维图形和动画 6 1.1.4 对物理世界建模 8 1.2 如何**学习数学 9 1.2.1 Jane想学习数学 9 1.2.2 在数学课本中苦苦挣扎 10 1.3 用上你训练有素的左脑 11 1.3.1 使用正式的语言 11 1.3.2 构建你自己的计算器 12 1.3.3 用函数建立抽象概念 13 1.4 小结 14 第 一部分 向量和图形 第 2章 二维向量绘图 16 2.1 二维向量绘图 16 2.1.1 如何表示二维向量 18 2.1.2 用Python绘制二维图形 20 2.1.3 练习 23 2.2 平面向量运算 25 2.2.1 向量的分量和长度 28 2.2.2 向量与数相乘 29 2.2.3 减法、位移和距离 31 2.2.4 练习 34 2.3 平面上的角度和三角学 41 2.3.1 从角度到分量 42 2.3.2 Python中的三角学和弧度 46 2.3.3 从分量到角度 47 2.3.4 练习 50 2.4 向量集合的变换 57 2.4.1 组合向量变换 59 2.4.2 练习 60 2.5 用Matplotlib绘图 61 2.6 小结 62 第3章 上升到三维世界 63 3.1 在三维空间中绘制向量 64 3.1.1 用坐标表示三维向量 66 3.1.2 用Python进行三维绘图 66 3.1.3 练习 68 3.2 三维空间中的向量运算 70 3.2.1 添加三维向量 70 3.2.2 三维空间中的标量乘法 72 3.2.3 三维向量减法 72 3.2.4 计算长度和距离 73 3.2.5 计算角度和方向 74 3.2.6 练习 75 3.3 点积：测量向量对齐 78 3.3.1 绘制点积 78 3.3.2 计算点积 80 3.3.3 点积的示例 82 3.3.4 用点积测量角度 83 3.3.5 练习 85 3.4 向量积：测量定向区域 88 3.4.1 在三维空间中确定自己的朝向 88 3.4.2 找到向量积的方向 89 3.4.3 求向量积的长度 91 3.4.4 计算三维向量的向量积 92 3.4.5 练习 93 3.5 在二维平面上渲染三维对象 96 3.5.1 使用向量定义三维对象 97 3.5.2 二维投影 98 3.5.3 确定面的朝向和阴影 99 3.5.4 练习 101 3.6 小结 102 第4章 变换向量和图形 103 4.1 变换三维对象 105 4.1.1 绘制变换后的对象 105 4.1.2 组合向量变换 107 4.1.3 绕轴旋转对象 110 4.1.4 创造属于你自己的几何变换 113 4.2 线性变换 117 4.2.1 向量运算的不变性 117 4.2.2 图解线性变换 119 4.2.3 为什么要做线性变换 121 4.2.4 计算线性变换 124 4.2.5 练习 127 4.3 小结 132 第5章 使用矩阵计算变换 134 5.1 用矩阵表示线性变换 135 5.1.1 把向量和线性变换写成矩阵形式 135 5.1.2 矩阵与向量相乘 136 5.1.3 用矩阵乘法组合线性变换 138 5.1.4 实现矩阵乘法 140 5.1.5 用矩阵变换表示三维动画 141 5.1.6 练习 142 5.2 不同形状矩阵的含义 148 5.2.1 列向量组成的矩阵 149 5.2.2 哪些矩阵可以相乘 151 5.2.3 将方阵和非方阵视为向量函数 152 5.2.4 从三维到二维的线性映射投影 154 5.2.5 组合线性映射 156 5.2.6 练习 157 5.3 用矩阵平移向量 163 5.3.1 线性化平面平移 163 5.3.2 寻找做二维平移的三维矩阵 167 5.3.4 在四维世界里平移三维对象 170 5.4 小结 174 第6章 高维泛化 176 6.1 泛化向量的定义 177 6.1.1 为二维坐标向量创建一个类 178 6.1.3 使用同样的方法定义三维向量 179 6.1.4 构建向���基类 180 6.1.5 定义向量空间 182 6.1.6 对向量空间类进行单元测试 185 6.2 探索不同的向量空间 188 6.2.1 枚举所有坐标向量空间 188 6.2.2 识别现实中的向量 190 6.2.3 将函数作为向量处理 192 6.2.4 将矩阵作为向量处理 194 6.2.5 使用向量运算来操作图像 195 6.2.6 练习 198 6.3 寻找更小的向量空间 205 6.3.1 定义子空间 205 6.3.2 从单个向量开始 207 6.3.3 生成更大的空间 207 6.3.4 定义“维度”的概念 209 6.3.5 寻找函数向量空间的子空间 210 6.3.6 图像的子空间 212 6.3.7 练习 214 6.4 小结 220 第7章 求解线性方程组 222 7.1 设计一款街机游戏 223 7.1.1 游戏建模 223 7.1.2 渲染游戏 224 7.1.3 发射激光 225 7.1.4 练习 226 7.2 找到直线的交点 227 7.2.1 为直线选择正确的公式 227 7.2.2 直线的标准形式方程 229 7.2.3 线性方程组的矩阵形式 231 7.2.4 使用NumPy求解线性方程组 233 7.2.6 识别不可解方程组 234 7.2.7 练习 236 7.3 将线性方程泛化到更高维度 240 7.3.1 在三维空间中表示平面 240 7.3.2 在三维空间中求解线性方程组 243 7.3.4 计算维数、方程和解 245 7.3.5 练习 246 7.4 通过解线性方程来改变向量的基 253 7.4.1 在三维空间中求解 255 7.4.2 练习 256 7.5 小结 257 第二部分 微积分和物理仿真 第8章 理解变化率 261 8.1 根据体积计算平均流速 262 8.1.1 实现average_flow_rate函数 263 8.1.2 用割线描绘平均流速 264 8.1.3 负变化率 265 8.1.4 练习 266 8.2 绘制随时间变化的平均流速 266 8.2.1 计算不同时间段内的平均流速 267 8.2.2 绘制间隔流速图 268 8.2.3 练习 270 8.3 瞬时流速的近似值 271 8.3.1 计算小割线的斜率 272 8.3.2 构建瞬时流速函数 274 8.3.3 柯里化并绘制瞬时流速函数 277 8.4 体积变化的近似值 278 8.4.1 计算短时间间隔内的体积变化 279 8.4.2 将时间分割成更小的间隔 280 8.4.3 在流速图上绘制体积变化的图形 280 8.4.4 练习 283 8.5 绘制随时间变化的体积图 283 8.5.1 计算随时间变化的体积 283 8.5.2 绘制体积函数的黎曼和 285 8.5.3 提升近似结果的**度 286 8.5.4 定积分和不定积分 288 8.6 小结 290 第9章 模拟运动的对象 291 9.1 模拟匀速运动 291 9.1.1 给小行星设置速度 292 9.1.2 更新游戏引擎，让小行星运动 292 9.1.3 保持小行星在屏幕上 293 9.1.4 练习 295 9.2 模拟加速 295 9.3 深入研究欧拉方法 296 9.3.1 手动计算欧拉方法 297 9.3.2 使用 Python 实现算法 298 9.4 用更小的时间步执行欧拉方法 300 9.5 小结 305 第 10章 使用符号表达式 306 10.1 用计算机代数系统计算**的导数 309 10.2.1 将表达式拆分成若干部分 310 10.2.3 使用Python语言实现表达式树 311 10.2.4 练习 313 10.3 符号表达式的应用 315 10.3.1 寻找表达式中的所有变量 317 10.3.3 表达式展开 319 10.3.4 练习 321 10.4 求函数的导数 323 10.4.1 幂的导数 324 10.4.2 变换后函数的导数 324 10.4.3 一些特殊函数的导数 326 10.4.4 乘积与组合的导数 327 10.4.5 练习 328 10.5 自动计算导数 330 10.5.1 实现表达式的导数方法 330 10.5.2 实现乘积法则和链式法则 332 10.5.4 练习 334 10.6 符号化积分函数 335 10.6.1 积分作为反导数 335 10.6.2 SymPy库介绍 336 10.6.3 练习 337 10.7 小结 338 第 11章 模拟力场 339 11.1 用向量场对引力建模 339 11.2 引力场建模 342 11.2.1 定义一个向量场 343 11.2.2 定义一个简单的力场 344 11.3 把引力加入小行星游戏 345 11.3.1 让游戏中的对象感受到引力 346 11.3.2 练习 349 11.4 引入势能 350 11.4.1 定义势能标量场 351 11.4.2 将标量场绘制成热图 352 11.4.3 将标量场绘制成等高线图 354 11.5.1 用横截面测量陡度 354 11.5.2 计算偏导数 356 11.5.3 用梯度求图形的陡度 357 11.5.4 用势能的梯度计算力场 359 11.5.5 练习 361 11.6 小结 364 第 12章 优化物理系统 365 12.1 测试炮弹模拟器 367 12.1.1 用欧拉方法建立模拟器 368 12.1.2 测量弹道的属性 369 12.1.3 探索不同的发射角度 370 12.1.4 练习 371 12.2 计算射程 373 12.2.1 求炮弹射程关于发射角的函数 373 12.2.2 求射程 376 12.2.3 确定值和小值 378 12.2.4 练习 379 12.3 增强模拟器 381 12.3.1 添加另一个维度 381 12.3.2 在炮弹周围建立地形模型 383 12.3.4 练习 386 12.4 利用梯度上升优化范围 388 12.4.1 绘制射程与发射参数的关系图 388 12.4.2 射程函数的梯度 389 12.4.3 利用梯度寻找上坡方向 390 12.4.4 实现梯度上升 392 12.4.5 练习 395 12.5 小结 399 第 13章 用傅里叶级数分析声波 400 13.1 声波的组合和分解 401 13.2 用Python播放声波 402 13.2.1 产生第 一个声音 402 13.2.2 演奏音符 405 13.2.3 练习 406 13.3 把正弦波转化为声音 406 13.3.1 用正弦函数制作音频 406 13.3.2 改变正弦函数的频率 408 13.3.3 对声波进行采样和播放 409 13.3.4 练习 411 13.4 组合声波得到新的声波 412 13.4.1 叠加声波的样本来构造和弦 412 13.4.2 两个声波叠加后的图形 413 13.4.3 构造正弦波的线性组合 414 13.4.4 用正弦波构造一个熟悉的函数 416 13.4.5 练习 419 13.5 将声波分解为傅里叶级数 419 13.5.1 用内积确定向量分量 420 13.5.2 定义周期函数的内积 421 13.5.3 实现一个函数来计算傅里叶系数 423 13.5.4 求方波的傅里叶系数 424 13.5.5 其他波形的傅里叶系数 424 13.5.6 练习 426 13.6 小结 428 第三部分 机器学习的应用 第 14章 数据的函数拟合 431 14.1 衡量函数的拟合质量 433 14.1.1 计算数据与函数的距离 434 14.1.2 计算误差的平方和 436 14.1.3 计算汽车价格函数的代价 440 14.2 探索函数空间 441 14.2.1 绘制通过原点的直线的代价 442 14.2.2 所有线性函数的空间 443 14.2.3 练习 445 14.3 使用梯度下降法寻找拟合线 445 14.3.1 缩放数据 445 14.3.2 找到并绘制拟合线 446 14.3.3 练习 447 14.4 非线性函数拟合 448 14.4.1 理解指数函数的行为 448 14.4.2 寻找拟合的指数函数 451 14.5 小结 453 第 15章 使用logistic回归对数据分类 455 15.1 用真实数据测试分类函数 456 15.1.1 加载汽车数据 457 15.1.2 测试分类函数 458 15.1.3 练习 458 15.2 绘制决策边界 460 15.2.1 绘制汽车的向量空间 460 15.2.2 绘制更好的决策边界 461 15.2.3 实现分类函数 462 15.2.4 练习 463 15.3 将分类问题构造为回归问题 464 15.3.1 缩放原始汽车数据 464 15.3.2 衡量汽车的“宝马性” 465 15.3.3 sigmoid函数 467 15.3.4 将sigmoid函数与其他函数组合 468 15.3.5 练习 470 15.4 探索可能的logistic函数 471 15.4.1 参数化logistic函数 472 15.4.2 衡量logistic函数的拟合质量 472 15.4.3 测试不同的logistic函数 474 15.4.4 练习 475 15.5 寻找logistic函数 477 15.5.1 三维中的梯度下降法 477 15.5.2 使用梯度下降法寻找拟合 478 15.5.3 测试和理解logistic分类器 479 15.5.4 练习 481 15.6 小结 483 第 16章 训练神经网络 484 16.1 用神经网络对数据进行分类 485 16.2 手写数字图像分类 486 16.2.1 构建64维图像向量 487 16.2.2 构建随机数字分类器 488 16.2.3 测试数字分类器的表现 489 16.2.4 练习 490 16.3 设计神经网络 491 16.3.1 组织神经元和连接 492 16.3.2 神经网络数据流 492 16.3.3 计算激活值 495 16.3.4 用矩阵表示法计算激活值 498 16.4 用Python构建神经网络 499 16.4.1 用Python实现MLP类 500 16.4.2 评估MLP 502 16.4.3 测试MLP的分类效果 503 16.4.4 练习 504 16.5 使用梯度下降法训练神经网络 504 16.5.1 将训练构造为小化问题 505 16.5.3 使用scikit-learn自动训练 507 16.6 使用反向传播计算梯度 509 16.6.1 根据后一层的权重计算代价 509 16.6.2 利用链式法则计算后一层权重的偏导数 510 16.6.3 练习 512 16.7 小结 513 附录A 准备Python（图灵社区下载） 附录B Python技巧和窍门（图灵社区下载） 附录C 使用OpenGL和PyGame加载和渲染三维模型（图灵社区下载） 附录D 数学符号参考（图灵社区下载）