本书为共两大部分，分别为《解几何题的钥匙》和《平面几何解题思路》。，本书系赵老师几十年来平面几何教学思路的集中展示，并由年轻在职教师重新选配了练习题和习题。老师通过学习此书可以掌握平面几何教育方法的精髓，学生精心研读后也可举一反三、触类旁通，掌握一整套行之有效的平面几何解题方法。

推理从这里开始 如果把概念、公理、定理都学会了,判断、推理就有了基础。这时就要进行 一些训练,比如,从具体到抽象的训练。 下面,我们先从两个角互余的关系出发,研究一下推理是如何展开的。 若α为40°,则它的余角β为50°。互余是两角之间的大小关系,只要知道其 中一个角的大小,就可以求出另一个角的大小。 若α为40°,画出它的余角γ,则γ 为50°;再画出α的另一个余角θ,则θ 亦为50°。结论是:凡是40°角的余角,无论画出多少个,都是50°,也就是相等。 若α不是40°,则它的余角当然不是50°,但总可以用90°-α来表示。结论 是:凡是α角的余角,无论画出多少个,都可以用90°-α 表示。所以,凡是α ·13· 角的余角都是相等的。 以上道理虽然简单,但是已经离开了具体数字的计算,开始上升到抽象推 理。这时,从研究图形性质的角度看,我们已经从计算一个角 (或几个角)的大 小 (度、分、秒),过渡到判断两个角大小相等,虽然这时并不知道这两个角各 自是多少度。 与此相类似,若是α角等于β角,则α角的余角必等于β角的余角。 两角互补的关系也是一样,下面写出推理的具体思路看一看。图2 1 例1 已知:如图2 1,∠α 是∠β的补角, ∠γ也是∠β的补角。求证:∠α=∠γ。 分析:既然∠α、∠β是互补的角,就用式子 把它们的关系表示出来,写成∠α ∠β=180°,再 进一步,∠α等于什么呢? ∠α=180°-∠β;同样 的想法写出∠γ=180°-∠β。到这里,可以看出, ∠α与∠γ都等于180°-∠β,所以∠α=∠γ。 证明:∵∠α ∠β=180° (补角定义), 又∵∠γ ∠β=180° (补角定义), ∴∠α=180°-∠β (等式性质), ∠γ=180°-∠β (等式性质), ∴∠α=∠γ (等量代换)。 同样是图2 1,可以把已知条件改作∠α 与∠γ 是对顶角,求证∠α=∠γ。 证明开始时,先说OB、OC 分别是OA、OD 的反向延长线,根据是对顶角定 义;再说∠AOB 与∠COD 都是平角,根据是平角定义;接着说∠α ∠β= 180°,∠γ ∠β=180°,根据是互补定义。到了这时就可以直接得出结论, ∠α=∠γ,根据是同角的补角相等。 通过上述推理过程可以看出,从已知条件出发,每一步骤就是一次判断,把 一次又一次的判断连接起来就构成了推理。判断的依据不是概念,就是公理、定 理,也包括等式性质。开始学某一部分知识的时候,一般用概念进行判断较多, 逐渐地,定理学多了,用定理作为推理依据就多了。 练 习 1.已知:∠AOC 和 ∠BOC 互 为 邻 补 角,OD 平 分 ∠AOC,OE 平 分 ∠BOC。求证:OD⊥OE。 2.已知:AB⊥MN 于B,CD⊥MN 于D。求证:AB∥CD。 ·14· 赵老师讲平面几何 (上) 2.泾渭分明的平行线问题 从研究 “同角的余角相等”这个结论开始,我们已经走进了推理论证的大 门。判断、推理伴随着学习几何的全过程,但是各阶段的推理也有它自己的特 点。平行线这一部分推理的特点,是必须分清判定和性质。即已知平行用性质定 理,求证平行用判定定理。 用角的关系来判断两直线平行,是一种常用的方法。因为平行线虽然有定 义,但是不好运用 “不相交”这个概念,所以不便用定义,需要另设判定方法。 这里有一项准备工作必须做好,就是弄清三线八角中的同位角、内错角和同 旁内角。这些角是因位置不同而得名的并称的角,并不说明两个角的大小关系, 即同位角有的相等,有的不相等;内错角也是有的相等,有的不相等;同旁内角 有的是互补的,有的不是互补的。 学习平行线判定定理,千万不要过早地简化定理,应该要求自己能完完整 整、一字不错地将定理全文背下来,明确这是用同位角的大小关系判断两直线平 行或是不平行。若知道 (已知或已证)同位角相等,就可以判断两直线平行,若 不知道同位角相等还是不相等,就不能判断两直线平行。 平行线性质定理,必须已知或已证两直线平行才能用,学习时也要全文背诵 下来。若是过早地简化,往往容易忽视 “如果”“那么”的关系,造成 “凡同位 角就相等”的错误印象。 有关平行线问题的推理,重要的事情就是分清性质和判定,每次证一个题 目,对其中每一个推理步骤,都要问自己一次:是已知平行还是求证平行? 是用 性质定理还是用判定定理? 例1 图2 2中,已知:AB∥CD,EG、FH 分别是∠AEF 和∠EFD 的平 分线。求证:EG∥FH。 图2 2 ·15· 二、思路是怎样打开的 证明:∵ AB∥CD (已知), ∴ ∠AEF=∠EFD (两直线平行,内错角相等)。 ∵ ∠1=∠2,∠3=∠4 (角平分线定义), ∴ ∠2=∠3 (等式性质), ∴ EG∥FH (内错角相等,两直线平行)。 值得注意的是∠2与∠3确实是内错角,但是之所以能说∠2=∠3,并不是 因为这两个角由它们的位置来看是内错角 (因为内错角不见得相等),而是因 为∠2是∠AEF 的一半,∠3是∠EFD 的一半,∠AEF 与∠EFD 是相等的, ∠2、∠3是等量的一半,所以相等。 图2 3 练 习 1.如图 2 3,已 知:直 线 MN 分 别 交 AB、 CD、EF 三直线于P、Q、R,且 AB∥CD,∠1= ∠2。求证:AB∥EF。 提示:证明AB、EF 的位置关系时,可以用有 关的角,也可以用平行公理的推论。 2.如图2 4,已知:∠1 ∠2=180°,∠3= 61°。求∠4的度数。 3.如图 2 5,已知:AB∥CD,且 ∠1=∠2。 求证:BE∥DF。 4.如图2 6,已知:AB∥CD,AG、CF 分别 是∠BAC 与∠DCE 的平分线。求证:AG∥CF。 图2 4 图2 5 图2 6 ·16·

**部分 几何是怎样入门的 ……………………………………………………………… 3 几何是研究什么的 ………………………………………………………… 3 不懂概念寸步难行 ………………………………………………………… 5 怎样记概念学概念 ………………………………………………………… 7 判断、推理的依据 ………………………………………………………… 11 思路是怎样打开的 …………………………………………………………… 13 推理从这里开始 …………………………………………………………… 13 泾渭分明的平行线问题 …………………………………………………… 15 规规矩矩证全等三角形 …………………………………………………… 17 综合性强的平行四边形 …………………………………………………… 21 从相似形谈到研究基本图 ………………………………………………… 26 从圆谈到知识归类训练法 ………………………………………………… 37 辅助线与基本作图的关系 ………………………………………………… 45 困难是怎样克服的 …………………………………………………………… 50 注意 “看清题”和 “看清图” …………………………………………… 50 弄清 “有什么”和 “要什么” …………………………………………… 56 知道做什么题,怎样做题 ………………………………………………… 62 学会做过题后做小结 ……………………………………………………… 66 初步了解改头换面的几何证明题 ………………………………………… 69 6.认真做好各种各样的几何计算题 ………………………………………… 77 第二部分 怎样学习平面几何 …………………………………………………………… 87 基本图与综合题 ……………………………………………………………… 94 基本图分论 …………………………………………………………………… 101 三线八角 ………………………………………………………………… 101 角平分线 ………………………………………………………………… 108 三角形中线 ……………………………………………………………… 120 三角形中位线 …………………………………………………………… 128 五种互余 ………………………………………………………………… 139 勾股定理 ………………………………………………………………… 149 锐角三角函数 …………………………………………………………… 158 直角三角形斜边中线 …………………………………………………… 164 直角三角形斜边上的高 ………………………………………………… 168 正弦定理和余弦定理 …………………………………………………… 175 三角形不等 ……………………………………………………………… 187 平行四边形和梯形 ……………………………………………………… 195 垂径分弦 ………………………………………………………………… 202 圆的切线 ………………………………………………………………… 211 和圆有关的角 …………………………………………………………… 221 两圆的公共弦与公切线 ………………………………………………… 239 平行线带来的比例线段 ………………………………………………… 248 图中的比例线段 ………………………………………………………… 271 圆幂定理 ………………………………………………………………… 285 复习中基本图的作用 ………………………………………………………… 298 熟能生巧 ………………………………………………………………… 298 见多识广 ………………………………………………………………… 312 3.见到不会的先想会的 …………………………………………………… 320