本书旨在帮助需要学习“凸优化”或者“非线性优化”方法以解决信号处理与通信领域中相关优化问题的工程类专业研究生、学者和工程技术人员。本书构建起了从基础数学理论到实际应用之间的桥梁,并强调两者的平衡,一共包括10章和1个附录。第1章介绍了一些常用的数学基础与定义,第2章介绍了凸集,第3章介绍了凸函数,第4章介绍了凸优化问题和问题重构,以上4章构成了基本凸优化问题所需的数学基础。接下来介绍了一些典型的凸优化问题,包括第5章的几何规划,第6章的线性规划、二次规划和二次约束二次规划,第7章的二阶锥规划,第8章的半正定规划,第9章的“对偶”原理。在这些章节中,读者可以看到第2章到第4章介绍的基本知识将如何正确、有效地应用于通信和/或信号处理中的实际问题。*后在第10章介绍了广泛用于求解具体凸优化问题的内点法,以试图在数值上为求解线性规划或非线性凸优化问题提供更加有效的计算性能。

第1章 数学背景 1.1 数学基础 1.1.1 向量范数 1.1.2 矩阵范数 1.1.3 内积 1.1.4 范数球 1.1.5 内点 1.1.6 补集、扩展集与和集 1.1.7 闭包与边界 1.1.8 上确界与下确界 1.1.9 函数 1.1.10 连续性 1.1.11 导数与梯度 1.1.12 Hessian 矩阵 1.1.13 Taylor 级数 1.2 线性代数回顾 1.2.1 向量子空间 1.2.2 张成空间、零空间和正交投影算子 1.2.3 矩阵行列式与逆 1.2.4 正定性与半正定性 1.2.5 特征值分解 1.2.6 半正定矩阵的平方根分解 1.2.7 奇异值分解 1.2.8 *小二乘近似 1.3 总结与讨论 参考文献 第2章 凸集 2.1 仿射集与凸集 2.1.1 直线与线段 2.1.2 仿射集与仿射包 2.1.3 相对内部和相对边界 2.1.4 凸集和凸包 2.1.5 锥与锥包 2.2 凸集的重要例子 2.2.1 超平面与半空间 2.2.2 欧氏球与椭球 2.2.3 多面体 2.2.3 多面体 2.2.5 范数锥 2.2.6 半正定锥 2.3 保凸运算 2.3.1 交集 2.3.2 仿射函数 2.3.3 透视函数及线性分式函数 2.4 广义不等式 2.4.1 真锥与广义不等式 2.4.2 广义不等式的性质 2.4.3 *小与极小元 2.5 对偶范数与对偶锥 2.5.1 对偶范数 2.5.2 对偶锥 2.6 分离与支撑超平面 2.6.1 分离超平面定理 2.6.2 支撑超平面 2.7 总结与讨论 参考文献 第3章 凸函数 3.1 基本性质和例子 3.1.1 定义和基本性质 3.1.2 一阶条件 3.1.3 二阶条件 3.1.4 例子 3.1.5 上境图 3.1.6 Jensen 不等式 3.2 保凸运算 3.2.1 非负加权和 3.2.2 仿射映射复合 3.2.3 复合函数 3.2.4 逐点*大和上确界 3.2.5 逐点*小和下确界 3.2.6 透视函数 3.3 拟凸函数 3.3.1 定义和例子 3.3.2 修正的 Jensen 不等式 3.3.3 一阶条件 3.3.4 二阶条件 3.4 关于广义不等式的单调性 3.5 关于广义不等式的凸性 3.6 总结与讨论 参考文献 第4章 凸优化问题 4.1 优化问题的标准型 4.1.1 部分专业术语 4.1.2 *优值和*优解 4.1.3 等价问题和可行问题 4.2 凸优化问题 4.2.1 全局*优性 4.2.2 *优准则 4.3 等价表示与变换 4.3.1 等价问题:上境图形式 4.3.2 等价问题:消除等式约束 4.3.3 等价问题:函数变换 4.3.4 等价问题:变量变换 4.3.5 复变量问题的重构 4.4 广义不等式意义下的凸优化问题 4.4.1 广义不等式意义下的凸优化问题 4.4.2 向量优化 4.5 拟凸优化 4.6 分块连续上界*小化 4.6.1 稳定点 4.6.2 分块连续上界*小化 4.7 连续凸近似 4.8 总结与讨论 参考文献 第5章 几何规划 5.1 一些基础知识 5.2 几何规划 5.3 凸几何规划 5.4 缩合法 5.4.1 连续 GP 近似 5.4.2 ��理层秘密通信 5.5 总结与讨论 参考文献 第6章 线性规划和二次规划 6.1 线性规划(LP) 6.2 LP 应用实例 6.2.1 食谱问题 6.2.2 Chebyshev ** 6.2.3 -范数近似问题 6.2.4 -范数近似问题 6.2.5 行列式*大化 6.3 线性规划/凸几何在盲源分离中的应用 6.3.1 基于 LP 的独立信源 nBSS 6.3.2 基于线性规划的高光谱分解 6.3.3 基于单纯形几何的高光谱分解 6.4 二次规划 6.5 高光谱图像分析中的 QP 和凸几何理论应用 6.5.1 端元数目估计的 GENE-CH 算法 6.5.2 端元数目估计的 GENE-AH 算法 6.6 二次约束二次规划 6.7 QP 和 QCQP 在波束成形设计中的应用 6.7.1 接收波束成形:平均旁瓣能量*小化 6.7.2 接收波束成形:*大旁瓣能量*小化 6.7.3 QCQP 在认知无线电发射波束成形设计中的应用 . 6.8 总结与讨论 参考文献 第7章 二阶锥规划 7.1 二阶锥规划 7.2 鲁棒线性规划 7.3 概率约束的线性规划 7.4 鲁棒*小二乘逼近 7.5 基于二阶锥规划的鲁棒接收波束成形 7.5.1 *小方差波束设计 7.5.2 基于二阶锥规划的鲁棒波束成形 7.6 基于二阶锥规划的下行波束成形 7.6.1 功率*小化准则下的波束成形 7.6.2 *大*小公平准则下的波束成形 7.6.3 多小区波束成形 7.6.4 家庭基站波束成形 7.7 总结与讨论 参考文献 第8章 半正定规划 8.1 半正定规划 8.2 利用 Schur 补将 QCQP 和 SOCP 转化为 SDP 8.3 S-引理(S-procedure) 8.4 SDP 在组合优化中的应用 8.4.1 Boolean 二次规划 8.4.2 实例 I:MAXCUT 8.4.3 实例 II:ML MIMO 检测 8.4.4 基于半正定松弛的 BQP 近似 8.4.5 实例 III:高阶 QAM OSTBC 非相干 LFSDR 方法 8.5 SDR 在发射波束成形设计中的应用 8.5.1 下行广播信道的波束成形 8.5.2 认知无线电的发射波束成形 8.5.3 **通信中的发射波束成形设计:人工噪声辅助法 8.5.4 *坏情况鲁棒发射波束成形:单小区 MISO 场景 8.5.5 *坏情况鲁棒发射波束成形:多小区 MISO 场景 8.5.6 中断约束下 MISO 干扰信道的协作波束成形:集中式算法 242 8.5.7 中断约束下 MISO 干扰信道的协作波束成形:基于 BSUM 的**算法 8.5.8 中断约束下的鲁棒发射波束成形:单小区 MISO 场景 255 8.5.9 中断约束下的鲁棒发射波束成形:多小区 MISO 场景 260 8.6 总结与讨论 参考文献 第9章 对偶 9.1 Lagrange 对偶函数和共轭函数 9.1.1 Lagrange 对偶函数 9.1.2 共轭函数 9.1.3 Lagrange 对偶函数和共轭函数之间的关系 9.2 Lagrange 对偶问题 9.3 强对偶性 9.3.1 Slater 条件 9.3.2 S-引理(S-lemma) 9.4 强对偶性的含义 9.4.1 强对偶性和弱对偶性的*大{*小特性 9.4.2 次优条件 9.4.3 互补松弛 9.5 Karush-Kuhn-Tucker(KKT)*优性条件 9.6 Lagrange 对偶优化 9.7 交替方向乘子法(ADMM) 9.8 广义不等式问题的对偶性 9.8.1 Lagrange 对偶和 KKT 条件 9.8.2 锥规划的 Lagrange 对偶和 KKT 条件 9.8.3 SDP 的 Lagrange 对偶和 KKT 条件 9.9 择一性定理 9.9.1 弱择一性 9.9.2 强择一性 9.9.3 S-引理(S-procedure)的证明 9.10 总结与讨论 参考文献 第10章 内点法 10.1 不等式和等式约束下的凸问题 10.2 Newton 法和障碍函数 10.2.1 等式约束下的 Newton 法 10.2.2 障碍函数 10.3 **路径 10.4 障碍法 10.5 原-对偶内点法 10.5.1 原-对偶搜索方向 10.5.2 代理对偶间隙 10.5.3 原-对偶内点法 10.5.4 原-对偶内点法解决半正定规划问题 10.6 总结与讨论 参考文献 附录A 凸优化求解工具 A.1 SeDuMi A.2 CVX A.3 有限脉冲响应(FIR)滤波器的设计 A.3.1 问题构造 A.3.2 利用 SeDuMi 解决问题 A.3.3 利用 CVX 解决问题 A.4 结论 参考文献 索引