本书主要讨论如何通过变分法来实现*控制问题。更具体地说 研究了如何应用变分法实现泛函极值。它涵盖了具有不同边界条件、涉及多个函数、具有一定约束条件等的泛函极值问题。 1.利用变分法给出了（连续时间）*控制解的充要条件，求解了不同边界条件下的*控制问题，并分别对线性二次型调节器和跟踪问题进行了详细的分析。 2.通过应用基于变分法的Pontryagin*小原理，给出了具有状态约束的*控制问题的解。并将所得结果应用于实现几种常见的*控制问题，如*小时间、*小燃料和*小能量问题等。 作为*控制方法的另一个重要分支，本文还介绍了如何通过动态规划求解*控制问题，并讨论了变分法与动态规划的关系，以供比较。 3.关于涉及单个代理的系统，还值得研究如何在微分模型框架内实现底层*控制问题的分散解。应用庞特里亚金*小原理和动态规划方法实现了平衡。 由于离散时间*控制问题在许多领域都很流行，所以本文也分析了上述所有材料的离散时间版本。

Chapter 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Backgrounds and Motivations of the Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Optimal Control Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Problem Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Some Examples of Optimal Control Problems . . . . . . . 12 1.3.2 Mathematical Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Organization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chapter 2 Extrema of Functional via Variational Method . . 31 2.1 Fundamental Notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.1 Linearity of Function and Functional . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.2 Norm in Euclidean Space and Functional . . . . . . . . . . . . 34 2.1.3 Increment of Function and Functional . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.4 Di erential of Function and Variation of Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Extrema of Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1 Extrema with Fixed Final Time and Fixed Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2 Speci c Forms of Euler Equation in Di erent Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.3 Su cient Condition for Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.4 Extrema with Fixed Final Time and Free Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.2.5 Extrema with Free Final Time and Fixed Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2.6 Extrema with Free Final Time and Free Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.3 Extrema of Functional with Multiple Independent Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4 Extrema of Function with Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.4.1 Elimination/Direct Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.4.2 Lagrange Multiplier Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.5 Extrema of Functional with Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.5.1 Extrema of Functional with Di erential Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.5.2 Extrema of Functional with Isoperimetric Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Chapter 3 Optimal Control via Variational Method . . . . . . . . . 96 3.1 Necessary and Su cient Condition for Optimal Control . . . . . 96 3.2 Optimal Control Problems with Di erent Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.2.1 Optimal Control with Fixed Final Time and State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.2.2 Optimal Control with Fixed Final Time and Free Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.2.3 Optimal Control with Free Final Time and Fixed Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.2.4 Optimal Control with Free Final Time and State . . . 112 3.3 Linear Quadratic Regulator Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.3.1 In nite-interval Time-invariant LQR Problems . . . . . 130 3.4 Linear Quadratic Tracking Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Chapter 4 Pontryagin's Minimum Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.1 Pontryagin's Minimum Principle with Constrained Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.2 Pontryagin's Minimum Principle with Constrained State Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.3 Minimum Time Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.3.1 Optimal Control Solution for Minimum Time Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.3.2 Minimum Time Problems for Linear Time-invariant Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.4 Minimum Fuel Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.5 Performance Cost Composed of Elapsed Time and Consumed Fuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 4.6 Minimum Energy Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 4.7 Performance Cost Composed of Elapsed Time and Consumed Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 4.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 4.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Chapter 5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226