数值分析是培养学生算法意识和能力的基本课程,应从培养学生科学计算能力出发,本书采用数值分析与科学计算并重的思想,**介绍了方法基本思想以及在MATLAB平台上的使用,其目的在于通过数值实验提高学生的对算法的“鉴赏”能力,使学生熟练使用标准的计算机软件,了解各种算法的优缺点,*终能“拥有”这些算法。书中每小节后面的习题可以使读者加深理解本小节所介绍的基本问题;MATLAB部分介绍了与本小节内容相关的MATLAB命令以及相应的数值实验,使读者通过数值实验获得对科学计算的直观认识;附加题有一定的难度,读者可有选择地完成。
本书结构合理,可读性强,除了可以作为本科高年级或研究生的“数值分析”教材,对以科学计算为工具的科技人员也有很好的参考价值。

第1章 非线性方程
1.1 对分法和反线性插值
科学或工程问题的求解和模拟*终往往都要解决求根或优化问题。前一种情形要求出方程或方程组的解;后一种情形则要找出使函数取*大或*小值的点。即使是对实验数据进行拟合或数值求解微分方程,也总是将问题简化成上述两类问题。本章主要考虑非线性方程的求根问题,第2章和第3章考虑线性方程组,第7章讨论优化问题。
所谓求根就是要求出f(x)=0的解x(也可能有多个解,但只需找出其中的一个)。方程的解也叫作方程的根或函数f的零点。通常对特殊的情形有特殊的方案:如果厂是二次式,则可以使用二次求根公式。sin(x)的零点大家都知道。但不久之后,需要求解的将不再是这些特殊的情形。*简单的例子是像
cos(x)——x=0
这样的方程以及5次或5次以上的多项式方程。(3次和4次多项式都有求根公式,但可以证明5次及5次以上的多项式则没有类似的公式,除非多项式有明显的分解式,否则只能用数值方法。)更为复杂但却非常普遍的情形是求微分方程的解,而微分方程本身必须用数值方法求解。
一种可能的方法是试探法。这种方法本身并没有问题,但缺乏对收敛速度估计的理论(在给定误差限内),而且很难自动进行。在实际操作中,每运行一次程序,不同的求根问题都可能求解几十或几百次。(例如,用计算机辅助设计软件包确定曲线的交点。)因此,需要找到快速、可靠而且简单的方法,*好是在处理过程中不需要人工干预。
我们考虑的是**种方法是穷举搜索(也称直接、图解或增量搜索)。假定,在某个区间(不必有限)上是连续的。由介值定理,如果能够找到两个点a,b,使f(a)和。f(b)的符号相反,则(a,b)中一定存在厂的零点。
……

第1章 非线性方程
1.1 对分法和反线性插值
1.2 牛顿法
1.3 固定点定理
1.4 牛顿法的二次收敛性
1.5 牛顿法的变形
1.6 布伦特方法
1.7 有限精度运算的效果
1.8 方程组的牛顿法
1.9 Broyden方法
第2章 线性方程组
2.1 部分主元高斯消去法
2.2 LU分解
2.3 选主元的LU分解
2.4 楚列斯基分解
2.5 条件数
2.6 QR分解
2.7 豪斯霍尔德三角化和QR分解
2.8 格拉姆一施密特正交化和QR分解
2.9 奇异值分解
第3章 迭代法
3.1 雅**迭代和高斯一塞德尔迭代
3.2 稀疏性
3.3 迭代加工
3.4 预处理
3.5 克里洛夫空间方法
3.6 数值特征值问题
第4章 多项式插值
4.1 拉格朗日插值多项式
4.2 分段线性插值
4.3 三次样条
4.4 三次样条系数的计算
第5章 数值积分
5.1 闭牛顿一柯特斯公式
5.2 开牛顿一柯特斯公式和待定系数法
5.3 高斯求积
5.4 高斯-切比雪夫求积
5.5 Radau和洛巴托求积
5.6 自适应性和自动求积
5.7 龙贝格积分
第6章 微分方程
6.1 数值微分
6.2 欧拉法
6.3 改进欧拉法
6.4 显式单步法分析
6.5 泰勒和龙格一库塔方法
6.6 自适应性和刚性
6.7 多步法
第7章 非线性优化
7.1 一维搜索
7.2 *速下降法
7.3 非线性优化的牛顿法
7.4 多重随机启动方法
7.5 直接搜索法
7.6 Neldel-Mead方法
7.7 共轭方向法
第8章 逼近方法
8.1 线性和非线性*小二乘
8.2 *佳逼近问题
8.3 *佳一致逼近
8.4 切比雪夫多项式的应用
后记
习题答案
参考文献

本书从求根问题开始,主要介绍一维求根,这是因为学生在微积分中已经了解了这个问题,然后介绍数值线性代数,因为这部分内容不仅本身重要,而且后面的章节中还要使用,第4章介绍作为推导其他方法的工具的多项式插值以及描绘由数据给出的曲线的工具的样条,第5章介绍数值求积的基本技术并**介绍这些方法在MATLAB和Maple中的使用,第6章主要处理常微分方程组的求解,非线性优化的相关内容在第7章介绍,第8章讨论逼近理论的基本思想和方法。