本书是与高等学校各专业的大学生学习“线性代数”课程同步的学习指导书。内容包括行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换、向量及其运算、矩阵的特征值与特征向量、相似矩阵与对角化、二次型。每节基本包括知识要点、疑难解析、经典题型详解和课后习题选解四个模块。每章的开始列出了本章的基本要求和知识网络图,*后部分是复习题解答和考研试题选编。编写本书的主要目的是为了帮助学生更好地理解“线性代数”课程的内容,掌握课程的基本理论、解题方法及技巧。
本书可以作为高等学校理科、工科和技术学科等非数学专业的线性代数的学习指导书,也可作为青年教师的教学参考书和考研学生的复习用书。

第3章

矩阵的初等变换及应用




一、 基本要求
1. 掌握初等变换和初等矩阵的定义、功能、性质;了解矩阵等价的概念。
2. 熟练掌握用初等变换求矩阵的逆,求矩阵的秩,判定和求线性方程组的解。
二、 知识网络图
矩阵的初等变换及应用初等变换初等行(列)变换
(定义3.1)换行(列): rirj(cicj)
数乘: kri(kci)
倍加: ri+krj(ci+kcj)
矩阵的等价(定义3.2)
同解线性方程组(定理3.1)
矩阵的行阶梯形、行*简形和标准形(定理3.2及其推论1、推论2)
初等矩阵初等矩阵
(定义3.3)**种初等矩阵: E(i,j)
第二种初等矩阵: E(i(k))
第三种初等矩阵: E(ij(k))
两个矩阵等价的充分必要条件(定理3.4)
初等矩阵的逆(定理3.5)
等价方阵的行列式(定理3.6)
初等矩阵与初等变换的关系(定理3.3): 左乘变行、右乘变列
应用1矩阵可逆的充分必要条件(定理3.7): 初等矩阵表示法
用初等变换求逆矩阵初等行变换: (AE)→(EA-1)
初等列变换: A

E→E

A-1
用初等变换解矩阵方程AX=B→X=A-1B初等行变换: (AB)→(EA-1B)
YA=C→Y=CA-1初等列变换: A

C→E

CA-1
应用2矩阵的秩k阶子式(定义3.4)
矩阵的秩(定义3.5)
满秩矩阵、降秩矩阵
用初等变换求矩阵的秩(定理3.8)
应用3非齐次线性方程组的解(定理3.9)
齐次线性方程组的解(定理3.10)初等变换在化简矩阵、求矩阵的逆和秩、解线性方程组等问题中起着非常重要的作用,它在线性代数中占有很重要的地位。
第3章矩阵的初等变换及应用3.1初等变换与初等矩阵3.1初等变换与初等矩阵
一、 知识要点〖*2〗1. 矩阵的初等变换定义3.1如下的三种变换称为对矩阵实施的初等行变换:
(1) 互换矩阵的第i,j两行(记作rirj),简称为换行;
(2) 将矩阵的第i行各元素乘以非零常数k(记作kri),简称为数乘;
(3) 将矩阵的第j行各元素乘以非零数k后加到第i行的对应元素上(记作ri+krj),简称为倍加。
若将定义3.1中的“行”换成“列”,即可得到初等列变换的定义(所用记号是将“r”换成“c”)。对矩阵进行的初等行变换和初等列变换,统称为初等变换。
定义3.2如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价,记作A~B或A→B。
矩阵的等价关系具有下列性质:
性质1(反身性)A与A等价;
性质2(对称性)如果A与B等价,那么B与A等价;
性质3(传递性)如果A与B等价,B与C等价,那么A与C等价。
定理3.1令=(A,b)和=(B,d)分别是线性方程组Ax=b和Bx=d的增广矩阵。若矩阵经过有限次初等行变换后变为矩阵,则线性方程组Bx=d与Ax=b同解。
由于初等列变换会改变对应线性方程组中未知数的位置,从而导致解的位置发生变化,所以,在实际计算时通常只用初等行变换求解线性方程组,很少使用初等列变换。
一般地,对矩阵Am×n实施有限次的初等行变换,可将其约化为如下形式的矩阵,即c11c12…c1rc1r+1…c1n
0c22…c2rc2r+1…c2n

00…crrcrr+1…crn
00…00…0

00…00…0,称为行阶梯形矩阵。它具有如下特点:
(1) 每个阶梯只占一行;
(2) 任一非零行(即元素不全为零的行)的**个非零元素的列标一定不小于行标,且**个非零元素的列标都大于它上面的非零行(如果存在的话)的**个非零元素的列标;
(3) 元素全为零的行(如果存在的话)必位于矩阵的*下面几行。
若对行阶梯形矩阵再实施有限次的初等行变换,可以将其进一步约化为如下的矩阵,即10…0b1r+1…b1n
01…0b2r+1…b2n

00…1brr+1…brn
00…00…0

00…00…0,称为行*简形。它的特点是: 每一非零行的**个非零元素全为1;且它所在的列中其余元素全为零。
对于任一给定的矩阵Am×n,可以经过有限次的初等行变换将其约化为行阶梯形以及行*简形。进一步地,若对行*简形矩阵再实施有限次初等列变换,则有下面的*简单形式,即10…00…0
01…00…0

00…10…0
00…00…0

00…00…0,称为矩阵Am×n的标准形。
定理3.2任一矩阵可经有限次初等行变换约化为行阶梯形矩阵。
推论1任一矩阵可经过有限次初等行变换约化为行*简形矩阵。
推论2任一可逆矩阵可经过有限次初等行变换约化为单位矩阵。
2. 初等矩阵
定义3.3由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。矩阵的三种初等变换对应于三种初等矩阵。
(1) **种初等矩阵: 互换单位矩阵E的第i行与第j行(或第i列与第j列)可以得到**种初等矩阵,即E(i,j)=1

1
0…1

1

1…0
1

1
第i行



第j行。(2) 第二种初等矩阵: 将单位矩阵E的第i行(或列)乘以非零常数k可以得到第二种初等矩阵,即E(i(k))=1

1
k
1

1第i行。(3) 第三种初等矩阵: 将单位矩阵E的第j行(或第i列)乘以常数k加到第i行(或第j列)的对应元素上,可以得到第三种初等矩阵,即E(ij(k))=1

1…k

1

1

第i行

第j行

。定理3.3设A是一个m×n矩阵。对A施以一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;对A施以一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。简称为左乘变行,右乘变列。
定理3.4m×n矩阵A与B等价的充要条件是: 存在m阶初等矩阵P1,P2,…,Pl及n阶初等矩阵Q1,Q2,…,Qt,使得PlPl-1…P1AQ1Q2…Qt=B。对于三种初等矩阵E(i,j),E(i(k)),E(ij(k)),容易求得|E(i,j)|=-1,|E(i(k))|=k≠0,|E(ij(k))|=1。初等矩阵的特性:
(1) (E(i,j))-1=E(i,j),(E(i(k)))-1=Ei1k,(E(ij(k)))-1=E(ij(-k))。
(2) 对于方阵A,若|A|=a,则|E(i,j)A|=-a,|E(i(k))A|=ka,|E(ij(k))A|=a。
定理3.5初等矩阵均可逆,而且初等矩阵的逆矩阵仍为同类型的初等矩阵。
定理3.6对于方阵A,若|A|≠0,则与A等价的B的行列式不为零,即|B|≠0。
3. 用初等变换求逆矩阵
定理3.7方阵A可逆的充分必要条件是: A能表示成有限个初等矩阵的乘积,即
A=P1P2…Ps,
其中P1,P2,…,Ps均为初等矩阵。
若矩阵A经过一系列初等行变换变为单位矩阵E,则单位矩阵E经过同样的初等行变换变为A-1,其过程可表示为
(AE)初等行变换(EA-1),
这一过程实际上就是将矩阵(AE)通过一系列的初等行变换约化为行*简形矩阵。
类似地,若对2n×n矩阵A

E施行初等列变换,有
A

E初等列变换E

A-1。
用初等变换求逆矩阵的几点说明。
(1) 对矩阵(AE)只能实施初等行变换,且在进行初等行变换时,必须将右边单位矩阵E所在的块同时进行。
(2) 在求一个矩阵的逆矩阵时,也可使用初等列变换求逆矩阵,但是对矩阵A

E只能实施初等列变换,且在进行初等列变换时,必须将下边单位矩阵E所在的块同时进行。
用初等变换求逆矩阵的方法也可用于解某些特殊的矩阵方程。
设有矩阵方程AX=B。若A可逆,则X=A-1B。对矩阵(AB)实施初等行变换,当把A变换为单位矩阵E时,B就约化为A-1B,即
(AB)初等行变换(EA-1B)。
同理,在求解矩阵方程YA=C时,若A可逆,则Y=CA-1。可以对矩阵A

C实施初等列变换,使得
A

C初等列变换E

CA-1。
二、 疑难解析
1. 举例说明: 用消元法求解线性方程组与用增广矩阵方法求解线性方程组的对应关系。
线性方程组
7x1+8x2+11x3=-3,
5x1+x2-3x3=-4,
x1+2x2+3x3=1。 增广矩阵
=7811-3
51-3-4
1231
互换方程组中**、三个方程的位置
x1+2x2+3x3=1,
5x1+x2-3x3=-4,
7x1+8x2+11x3=-3。r1r3
1231
51-3-4
7811-3
将**个方程的-5倍加到第二个方程上,
-7倍加到第三个方程上
x1+2x2+3x3=1,
-9x2-18x3=-9,
-6x2-10x3=-10。r2-5r1
r3-7r1
1231
0-9-18-9
0-6-10-10
将第二个和三个方程分别提出公因子-9和-2
x1+2x2+3x3=1,
x2+2x3=1,
3x2+5x3=5。r2/(-9),r3/(-2)
1231
0121
0355
将第二个方程的-3倍加到第三个方程上
x1+2x2+3x3=1,
x2+2x3=1,
-x3=2。r3-3r2
1231
0121
00-12
将第三个方程的2倍加到第二个方程上,
3倍加到**个方程上
x1+2x2=7,
x2=5,
-x3=2。r2+2r3
r1+3r3
1207
0105
00-12
将第二个方程的-2倍加到**个方程上,
将第三个方程乘以数-1
x1=-3,
x2=5,
x3=-2。r1-2r2
-r3
100-3
0105
001-2
由于以上各线性方程组同解,故此线性方程组的解为由定理3.9知x1=-3,x2=5,x3=-2。2. 在对矩阵实施初等变换时,与初等矩阵有何关系?如何理解“左乘变行,右乘变列”?
答(1) 对矩阵A施以一次初等行(列)变换得到矩阵B,B和A的关系是等价的,即A~B;而在A的左(右)边乘以相应的m阶初等矩阵P(n阶初等矩阵Q)得到矩阵B,则B和A的关系可以用等号连接,即B=PA(B=AQ)。
(2) 如何理解“左乘变行,右乘变列”非常重要。对于**种初等矩阵,在矩阵A左边乘(或右边乘)以初等矩阵E(i,j),表示对矩阵A的第i行与第j行(或第i列与第j列)进行互换;对于第二种初等矩阵,在矩阵A左边乘(或右边乘)以初等矩阵E(i(k)),表示对矩阵A的第i行(或第i列)乘以非零常数k;然而,对于第三种初等矩阵,在矩阵A左边乘以E(ij(k))表示将矩阵A的第j行乘以常数k加到第i行的对应元素上,右边乘以E(ij(k))表示将矩阵A的第i列乘以常数k加到第j列的对应元素上。这些细节经常被初学者弄混,因此,必须要记清楚这些符号的具体含义和使用规范。
例如,对矩阵A施以一次初等行变换A=a11a12a13a14
a21a22a23a24
a31a32a33a34r2+kr3a11a12a13a14
a21+ka31a22+ka32a23+ka33a24+ka34
a31a32a33a34,相应地E(23(k))A=100
01k
001a11a12a13a14
a21a22a23a24
a31a32a33a34
=a11a12a13a14
a21+ka31a22+ka32a23+ka33a24+ka34
a31a32a33a34。对A施以一次初等列变换A=a11a12a13a14
a21a22a23a24
a31a32a33a34c1+kc4a11+ka14a12a13a14
a21+ka24a22a23a24
a31+ka34a32a33a34,相应地AE(41(k))=a11a12a13a14
a21a22a23a24
a31a32a33a341000
0100
0010
k001=a11+ka14a12a13a14
a21+ka24a22a23a24
a31+ka34a32a33a34。3. 举例说明: 对一个矩阵只实施初等行变换,一般情况下得不到矩阵标准形。
答对一个可逆矩阵,只需对其实施初等行变换,便可以约化为对应的标准形。然而,对于一般形式的矩阵,若只实施初等行变换,一般情况下只能得到对应的行*简形,得不到矩阵标准形。例如A=2-1-112
11-214
4-62-24
36-979→10-104
01-103
0001-3
00000。三、 经典题型详解〖*2〗题型1利用初等行变换将矩阵约化为行阶梯形、行*简形和标准形例3.1将矩阵A=21-1-23
0211-2
123-12
353-23约化为行阶梯形、行*简形和标准形。
解对A实施初等行变换,得A=21-1-23
0211-2
123-12
353-23r1r3123-12
0211-2
21-1-23
353-23
r3-2r1
r4-3r1r2r4123-12
0-1-61-3
0-3-70-1
0211-2r3-3r2
r4+2r2r4+r3123-12
0-1-61-3
0011-38
00000=B。(行阶梯形)B为行阶梯形矩阵。继续对B进行初等行变换,得Br3×111r2×(-1)123-12
016-13
001-311811
00000r2-6r3
r1-3r3r1-2r2100-16112811
010711-1511
001-311811
00000=C。(行*简形)C为行*简形矩阵。继续对C进行初等列变换,不难得到 C→10000
01000
00100
00000=D。显然,D为标准形矩阵。
类似地,可以求下列矩阵的行阶梯形、行*简形和标准形:
(1) 1-213
2-102
4-528
-1-111; (2) 30-21-2
2-1-44-5
112-33
522-54。
题型2利用初等矩阵进行变换
例3.2设有如下的初等矩阵:E(1,2)=010
100
001,E(2(3))=100
030
001,E(32(2))=100
010
021。分别用三种初等矩阵左乘、右乘矩阵A,其中A=231
1-12
203。
分析利用初等矩阵的定义和矩阵的乘法法则计算,并比较结果。
解分别用三种初等矩阵左乘矩阵A,可得E(1,2)A=010
100
001231
1-12
203=1-12
231
203,上式表明,用E(1,2)左乘A相当于交换矩阵A的第1行与第2行。E(2(3))A=100
030
001231
1-12
203=231
3-36
203,上式表明,用E(2(3))左乘A相当于将矩阵A的第2行乘以3。
E(32(2))A=100
010
021231
1-12
203=231
1-12
4-27,
上式表明,用E(32(2))左乘A相当于将矩阵A的第2行乘以2加到第3行。
分别用三种初等矩阵右乘矩阵A,可得
AE(1,2)=231
1-12
203010
100
001=321
-112
023,
上式表明,用E(1,2)右乘A相当于交换矩阵A的第1列与第2列。
AE(2(3))=231
1-12
203100
030
001=291
1-32
203,
上式表明,用E(2(3))右乘A相当于将矩阵A的第2列乘以3。
AE(32(2))=231
1-12
203100
010
021=251
132
263。
上式表明,用E(32(2))右乘A相当于将矩阵A的第3列乘以2加到第2列。
类似地,对于给定的初等矩阵
E(1,2)=010
100
001,E(2(3))=100
030
001,E(32(-2))=100
010
0-21,
和矩阵A=221
13-1
013,分别用三种初等矩阵左乘、右乘矩阵A。
例3.3计算: A=100
010
01110123
234
345001
010
10015。
分析注意到,100
010
011和001
010
100都是初等矩阵,先利用初等矩阵的性质计算各自的幂,然后再计算A。
解根据初等矩阵的性质,不难求得
100
010
01110=100
010
0101,001
010
10015=001
010
100,
所以有
A=100
010
0101123
234
345001
010
100=123
234
233445001
010
100=321
432
453423。
类似地,可以计算下列问题:
(1) 100
010
2017322
113
145001
010
1008;(2) 100
050
0018201
2-11
122001
010
1-213。
题型3用初等变换求逆矩阵、解矩阵方程
例3.4求矩阵A的逆矩阵,其中
(1) A=012
114
2-10; (2) A=3-20-1
0221
1-2-3-2
0121。
分析先将矩阵A和E组成一个新的矩阵(AE),然后对其实施初等行变换将其约化为(EA-1)。
解对(AE)实施初等行变换,得(AE)=012〖|〗100
114010
2-10001r1r2114〖|〗010
012100
2-10001
r3-2r1114〖|〗010
012100
0-3-80-21r1-r2r3+3r2102〖|〗-110
012100
00-23-21
r2+r3r1+r3100〖|〗2-11
0104-21
00-23-21-r3/2100〖|〗2-11
0104-21
001-3/21-1/2。于是
A-1=2-11
4-21
-3/21-1/2。
(2) 对(AE)实施初等行变换,得(AE)=3-20-1〖|〗1000
02210100
1-2-3-20010
01210001r1r31-2-3-2〖|〗0010
02210100
3-20-11000
01210001

第1章行列式1
一、 基本要求1
二、 知识网络图1
1.1行列式的概念2
一、 知识要点2
二、 疑难解析5
三、 课后习题选解7
1.2n阶行列式的性质及应用9
一、 知识要点9
二、 疑难解析11
三、 经典题型详解12
四、 课后习题选解18
1.3行列式的一些典型算例21
一、 经典题型详解21
二、 课后习题选解29
1.4克莱姆法则35
一、 知识要点35
二、 经典题型详解36
三、 课后习题选解38
复习题1解答41
考研试题选编147
第2章矩阵49
一、 基本要求49
二、 知识网络图49
2.1矩阵及其运算50
一、 知识要点50
二、 疑难解析53
三、 经典题型详解54
四、 课后习题选解57
2.2方阵的行列式及其逆矩阵60
一、 知识要点60
二、 疑难解析62
三、 经典题型详解63
四、 课后习题选解66
2.3矩阵方程71
一、 经典题型详解71
二、 课后习题选解73
2.4分块矩阵76
一、 知识要点76
二、 疑难解析76
三、 经典题型详解77
四、 课后习题选解80
复习题2解答85
考研试题选编290
目录目录第3章矩阵的初等变换及应用94
一、 基本要求94
二、 知识网络图94
3.1初等变换与初等矩阵95
一、 知识要点95
二、 疑难解析98
三、 经典题型详解100
四、 课后习题选解105
3.2矩阵的秩110
一、 知识要点110
二、 疑难解析111
三、 经典题型详解112
四、 课后习题选解114
3.3线性方程组的解115
一、 知识要点115
二、 经典题型详解117
三、 课后习题选解122
复习题3解答126
考研试题选编3132
第4章向量135
一、 基本要求135
二、 知识网络图135
4.1向量及其线性运算136
一、 知识要点136
二、 疑难解析140
三、 经典题型详解141
四、 课后习题选解143
4.2向量组的线性相关性144
一、 知识要点144
二、 疑难解析146
三、 经典题型详解147
四、 课后习题选解152
4.3向量组的极大线性无关组与向量组的秩154
一、 知识要点154
二、 疑难解析156
三、 经典题型详解157
四、 课后习题选解163
4.4线性方程组的解的结构167
一、 知识要点167
二、 经典题型详解170
三、 课后习题选解177
复习题4解答183
考研试题选编4189
第5章方阵的特征值、相似与对角化196
一、 基本要求196
二、 知识网络图196
5.1方阵的特征值与特征向量197
一、 知识要点197
二、 疑难解析199
三、 经典题型详解200
四、 课后习题选解205
5.2方阵的相似矩阵及对角化208
一、 知识要点208
二、 疑难解析209
三、 经典题型详解209
四、 课后习题选解214
5.3向量的内积218
一、 知识要点218
二、 疑难解析219
三、 经典题型详解220
四、 课后习题选解223
5.4实对称矩阵的对角化224
一、 知识要点224
二、 经典题型详解225
三、 课后习题选解228
复习题5解答236
考研试题选编5240
第6章二次型245
一、 基本要求245
二、 知识网络图245
6.1二次型及其矩阵表示245
一、 知识要点245
二、 经典题型详解247
三、 课后习题选解248
6.2二次型的标准形249
一、 知识要点249
二、 疑难解析250
三、 经典题型详解251
四、 课后习题选解256
6.3正定二次型261
一、 知识要点261
二、 经典题型详解262
三、 课后习题选解263
复习题6解答265
考研试题选编6271