专项一数学运算
比例问题主要研究分量与总量比较(占比)或者是分量间比较。
1.占比问题
占比就是,所得是个真分数或百分数。占比问题的关键是找出分量与总量间的比例关系。
2.连比问题
连比问题涉及多个量之间的比例关系,考试中通常给出三个量,需要找出一个中间量,统一它们的比例关系(一般需要求出较小公倍数,并把这个特殊值设为中间量)。
3.倍数判定
数学运算中的所求量多为整数,若遇到算术方法思路复杂时,可以通过分析这些量的倍数关系进行判定。
制黑火**的原料是火硝、硫黄和木炭。火硝的质量是硫黄和木炭之和的3倍,硫黄只占原料总量的,要配制这种黑火药320千克,需要木炭多少千克?
A.48B.60C.64D.96
中公精讲:已知总量为黑火药320千克,要求分量木炭。根据公式,分量=总量×所占比例,可知应设法求出所占比例。
火硝的质量是硫黄和木炭之和的3倍?圯火硝占总量的=。
木炭占总质量的1--=,故需要木炭320×=48千克。故本题选A。
某天,林伯的水果摊三种水果的价格分别如下:苹果6元/千克,芒果5元/千克,香蕉3元/千克。当天,苹果与芒果的销售量之比为4∶3,芒果与香蕉的销售量之比为2∶11,卖香蕉比卖苹果多收入102元。林伯这天共销售三种水果()千克。
A.75B.94C.141D.165
中公精讲:以芒果的销售量为中间量,苹果、芒果、香蕉**比为8∶6∶33,根据三者单价比6∶5∶3可知总价比为(8×6)∶(6×5)∶(33×3),即48∶30∶99。香蕉收入比苹果多51份,因此每份是102÷51=2元。苹果有48×2÷6=16千克,相当于重量比中每份是2千克,所以共卖了2×(8+6+33)=94千克水果。故本题选B。
两个派出所某月内共受理案件160起,其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件,乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件,则乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件?
A.48B.60C.72D.96
中公精讲:已知甲派出所的刑事案件占17%=,乙派出所的刑事案件占20%=。甲、乙两���出所共受理案件160起,根据整除特性可知甲派出所受理案件总数是100的倍数,故只能为100,所以乙派出所受理案件总数为60,则乙派出所在这个月中共受理的非刑事案件数为60×=48件。故本题选A。
考点分析:当比例是百分数时,要将其改写成较简分数,以确定答案能被哪些数整除。
若a、b是整数,且=(是较简分数),则a能被m整除,b能被n整除。
工程问题研究的是工作量、工作效率、工作时间三者间的关系,公式如下:
工作量=工作效率×时间
通常把工程的总工作量设为1,作为工作量与完成时间的比值,工作效率通常是一个单位分数。
1.基本工程问题
时间一定,工作量与工作效率成正比
效率一定,工作量与工作时间成正比
工作量一定,工作效率与时间成反比
2.多人工程问题
多人工程问题的核心公式:
工作总量(1)=t1×效率1+t2×效率2+…+tn×效率n
3.轮流工程问题
轮流工程问题的解题步骤:
(1)求出一个循环完成的工作量x;
(2)求出1÷x的整数部分;
(3)求出经过[1÷x]整数个循环后的剩余工作量;
(4)利用剩余的工作量求还需要的时间,即可求出总工作时间。
4.混合工程问题
混合工程问题的解题思路:
先求出一个人的工作量A,则另一人的工作量=1-A,其工作时间为。
5.合作效率改变
单人工程工作效率改变,可直接应用比例关系。
多人工程问题注意前后工作效率的变化,尤其需要注意这时的三量关系变化如下:
合作后总的工作效率×合作时间=合作完成的工作量
6.水管问题
水管问题可以看作工程问题的变形来处理:
进水量、排水量?圳工作量,进水、排水速度?圳工作效率
进水量(排水量)=进水速度-排水速度×时间
7.牛吃草问题
牛吃草问题的核心公式如下:
(所有牛每天吃的草量-草地每天新长的草量)×天数=较初的草量
草地每天新长的草量=
牛吃草的天数=较初的草量÷(牛每天吃的草量-草地每天新长的草量)
修一条公路,假设每人每天的工作效率相同,计划180名工人1年完成,工作4个月后,因特殊情况,要求提前2个月完成任务,则需要增加工人多少名?
A.50B.65C.70D.60
中公精讲:工作4个月后剩下12-4=8个月,提前2个月完成,即要求6个月完成。工作量一定时,工作效率之比等于时间的反比,因此增加工人前后的工作效率比为6∶8=3∶4。增加后的工人数为180÷3×4=240名,增加240-180=60名,故本题选D。
考点分析:根据工作量一定,工作效率和时间成反比解题。
甲、乙两个工程队共同完成A和B两个项目。已知甲队单独完成A项目需13天,单独完成B项目需7天;乙队单独完成A项目需11天,单独完成B项目需9天。如果两队合作用较短的时间完成两个项目,则较后**两队需要共同工作多长时间就可以完成任务?
A.天B.天C.天D.天
点拨:根据甲、乙两个工程队完成A、B两个项目的情况,可通过表格的形式加以说明。
由上表可知,甲做B项目的速度相对较快,为尽快完工,甲先做B项目,乙先做A项目。
中公精讲:甲做完B项目时,A项目的工作量还剩1-×7=。甲、乙共同完成剩余工作需要÷(+)=×==2天,即较后**只需要天就可以完成任务。故本题选D。
某项工作,甲单独做要18小时完成,乙要24小时完成,丙要30小时才能完成。现按甲、乙、丙的顺序轮班做,每人工作一小时后换班,当该项工作完成时,乙共做了多长时间?
A.7小时44分钟B.7小时58分钟C.8小时D.9小时10分钟
点拨:这类试题难度不大,关键在于速算。若按常规设为1,则将陷入分数的计算。类似于题中情况,应将工作量设为工作时间(数值)的较小公倍数。
中公精讲:设总工作量为18、24、30的较小公倍数360份,甲、乙、丙工作效率分别为20、15、12。
18=32×224=3×2330=3×2×5?圯较小公倍数=32×23×5=360
每3小时完成20+15+12=47份,360÷47=7……31。甲做一小时完成20份后,剩下的31-20=11份需要由乙做小时。则乙共做了7小时,合7小时44分钟,故本题选A。
甲、乙两人加工一批零件,由甲单独做需36小时,由乙单独做需27小时;现由乙先开始做6小时,然后甲、乙两人同时做,完成任务时,甲加工的零件个数是600个,则乙加工零件的个数是:
A.1200个B.1800个C.2000个D.2100个
中公精讲:分段考虑,先求乙单独完成的工作量:乙单独做需要27小时,则乙做6小时完成了工作量的=。再求出合作完成的工作量:故甲、乙合作完成了工作量的1-=。甲、乙的工作效率之比是∶=3∶4,因此甲加工600个零件完成了工作量的×=。乙总共完成了工作量的1-=,为甲的2倍,所以乙共加工了600×2=1200个零件。故本题选A。
有一项工程,若由甲、乙单独做,分别需要12天和18天完成。若两人合作,因配合不默契,甲的工作效率比原来降低,乙的工作效率比原来降低,现在要求11天完成该工程,两人至少需要合作多少天?
A.3B.4C.5D.6
中公精讲:总天数一定,要使两人合作的天数在总天数中占的尽量少,只能由工作效率较高的甲单独做一部分,甲、乙两人合做每天可完成工程的×(1-)+×(1-)=。若11天全部由甲独做11天后未完成1-×11=工作量。每合作**可多做-=的工作量,因此差的工作量至少需要合作÷=6天来弥补。故本题选D。
同时打开游泳池的A、B两个进水管,加满水需1小时30分钟,且A管比B管多进水180立方米。若单独打开A管,加满水需2小时40分钟。则B管每分钟进水多少立方米?
A.6B.7C.8D.9
中公精讲:A、B管同时打开需要90分钟加满整个水池,A管单独需要160分钟,因此A管90分钟进水量+B管90分钟进水量=A管160分钟进水量,即B管90分钟进水量=A管70分钟进水量。根据工作量一定,效率比等于时间的反比可知,A、B两管的效率比为90∶70=9∶7。结合选项可知,B管每分钟进水量应为7的倍数,只有B项符合。故本题选B。
一牧场原有库存饲料一定,而且每天都购进相等数量的饲料入库。5头牛连续20天可吃完饲料,6头牛连续15天可吃完。若要求在6天里正好全部吃完,则至少需要多少头牛?
A.15B.12C.11D.9
中公精讲:本题中,每天购进的饲料量相当于草的生长速度,设每头牛每天吃饲料量为1,根据公式,每天购进饲料量为(5×20-6×15)÷(20-15)=2,原有库存饲料量为20×(5-2)=60,要6天吃完,需要60÷6+2=12头牛,故本题选B。
利润问题主要涉及“收入、成本、利润”等相关概念,以此为核心在数学运算中衍生出许多关于利润的计算问题。较常见的是通过利润率公式来求解上面三者:
利润率=×****=×****=(-1)×****