严培胜等编著的《高等数学(上)》是依据教育部《经济管理类数学课程教学基本要求》,针对高等学校经济类、管理类各专业的教学实际编写的高等数学或微积分课程教材。本教材分上、下两册。本书是上册,内容包括函数、极限与连续,导数与微分,中值定理与导数的应用,不定积分,定积分及应用。每节后面配有(A)、(B)两组习题及每一章的总习题,(B)
组习题为满足有较高要求的读者配备。题型丰富,梯度难度恰到好处。各章都专设一节编入了MATLAB在高等数学中的应用作为讲授内容。
《高等数学(上)》适合经济、管理、部分理工科(非数学)、社科、人文等各专业学生。 高等数学-(上)_严培胜,陶前功_科学出版社_

第1章
函数、极限与连续
由于社会经济和科学技术的发展的需要,数学在经历了2000 多年的发展之后
进入了从形的研究向数的研究的新时代,由常量数学发展为变量数学,微积分的创
立是这一时期*突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的
函数.
极限是研究函数的基本方法,连续函数则是函数的一种重要属性,因而本章是
整个微积分学的基础.本章主要介绍函数的概念及其基本性质、数列与函数的极限
及其基本性质、连续函数的概念及其基本性质,为进一步学好函数的微积分打下一
个良好的基础.
1.1 函 数
1.1.1 常量与变量 区间与邻域
1.常量与变量
在自然现象或工程技术中,常常会遇到各种各样的量.有一种量,在考察的过
程中始终保持不变,我们把这一类量称为常量;另一种量,在考察的过程中是不断
变化的,可以取不同的数值,我们把这一类量称为变量.
例如,圆周率π 是永远不变的量,它是一个常量;某商品的价格在一定的时间
段内是不变的,所以,在这段时间内它也是常量.又如,**中的气温,工厂在生产
过程中的产量都是不断变化的量,这些量都是变量.
一个量是常量还是变量,因讨论问题的不同,可能会有变化.例如,重力加速度
一般情况下可以看做常量,实际上在不同的地方,重力加速度是不同的,这与所讨
论问题的**度要求有关.如果**度要求不高,把它看做常量;如果**度要求
比较高,就不能把它看做常量了.
一般地,常量对应数轴上的定点,变量对应数轴上的动点.
2.区间与邻域
集合是表示具有同一种属性事物的全体.有关集合的运算、集合的表示等方面
的基本知识,中学数学已有介绍,这里就不一一赘述了.下面介绍高等数学中常用
的数集及其简明表示符号.
任何一个变量,都有确定的变化范围,如果变量的变化范围是连续的,常用一
种特殊的数集―― 区间来表示变量的变化范围.
设a,b 是两个实数,且a < b ,那么
(1) 数集{ x | a < x < b} 称为开区间,记为( a,b) ,如图1.1 1(a)所示;
(2) 数集{ x | a ≤ x ≤ b} 称为闭区间,记为[ a,b] ,如图1.1 1(b)所示;
(3) 数集{ x | a ≤ x < b} 和{ x | a < x ≤ b} 称为半开区间,分别记为[ a,b)和
( a,b] ,如图1.1 1(c) 、图1.1 1(d)所示.
上述4 个区间的长度都是有限长的,因此把它们统称为有限区间,a,b 称为区
间端点, b-a 称为区间长度.
除了上述有限区间外,还有一类区间称为无限区间,表示为
(1) ( a,+ ∞ ) = { x | x > a} ,如图1.1 1(e)所示;[ a,+ ∞ ) = { x | x ≥ a} ;
(2) (-∞,b) = { x | x < b} ,如图1.1 1(f)所示;(-∞,b] = { x | x ≤ b}.
(3) (-∞,+ ∞ )表示全体实数集合R.
注 - ∞ 和+ ∞ 分别读作“负无穷大” 和“正无穷大” ,它们不是数,仅仅是
记号.
邻域是微积分学中经常用到的一个概念.
设a 和δ 是两个实数且δ > 0 (δ 通常是指很小的正数) ,将数轴上到点a 的距
离小于δ 的点的全体,称为点a 的δ 邻域,记为U( a,δ).即
U( a,δ) = ( a-δ,a + δ) = { x | | x-a | < δ}
图1.1 2
其中,a 称为邻域的**;δ 称邻域的半径,它在数轴
上表示以a 为**,长度为2δ 的对称开区间,如图
1.1 2 所示.
数集{ x | 0 < | x-a | < δ} 称为点a 的去心δ 邻域.记为U
。
( a,δ).
1.1.2 函数的概念
1.函数的定义
定义1 设x 和y 是两个变量,D 是R 上的非空数集,D 到R 的映射f : D →
R 称为定义在D 上的函数.即对任意的x ∈ D ,按照一个确定的对应法则f ,在实数
集R 上有**的一个y 与之对应.通常简记作y = f( x).
x 称为自变量,y 称为因变量,x 的取值范围称为函数的定义域(就是本定义中
的D).一般情况下,用Df 表示函数的定义域.当取x = x0 时,按照对应法则f 有
y0 = f( x0 ) 与之相对应,并称其为函数在点x0 处的函数值;当x 在区域D 上取遍
时,所对应的函数值的全体称为函数的值域,记为Rf.即
Rf = { y | y = f( x),x ∈ Df }
图1.1 3
表示函数的方法有三种,即表格法、图示法、解析
法,这在中学里已经学过.其中用图示法表示函数是基
于函数图形的概念,即坐标平面上的点集{ P( x,y) |
y = f( x),x ∈ Df } 称为函数y = f( x) 的图形,如图
1.1 3 所示.图中Rf 表示函数y = f( x) 的值域.
如果自变量在定义域内任取一个数值时,对应
的函数值都只有一个,这种函数叫做单值函数,否则
叫做多值函数.例如,由关系式x2 + y2 = 1 能确定两
个变量x 与y 之间的一种对应关系,比如x = 0 时,相应的y 可以等于1 ,也可以等
于- 1.其实它们是y = + 1-x2 ,y =-1-x2 这样两段函数,因此该函数为多
值函数,本教材部分章节也会涉及这类函数.这类函数只需附加一些条件,就可以
将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,本例附
加y > 0 ,就可以得到单值分支y = + 1-x2 ,附加y < 0 ,就可以得到单值分支
y =-1-x2.因而本书中没有特别说明的函数,都是指单值函数.
定义域和对应关系f 是确定函数关系的两个要素,如果两个函数的对应关系
f 和定义域都相同,那么这两个函数是相同的.
例1 下列各对函数是否为相同的函数? 为什么?
(1) f( x) = ln x2,g( x) = 2ln x ; (2) f( x) = x2,g( x) = x.
解 (1) f( x)的定义域是Df = (-∞ ,0) ∪ (0,+ ∞ ) ,g( x) 的定义域Df =
(0,+ ∞ ) ,两函数定义域不同,所以f( x)与g( x)不是相同的函数.
(2) f ( x)与g( x)的定义域都是(-∞,+ ∞ ) ,但当x < 0 时,f( x) > 0 ,
g( x) < 0 ,即两函数的对应关系不同,所以f( x)与g( x)不是相同函数.
例2 求下列函数的定义域:
(1) y = ln( x + 1)
x-1
; (2) y = x2 + x-2-arcsin x + 1
3
.
解 (1) 要使函数有定义,必须
x + 1 > 0
x-1 > 0
即x > 1 ,所以函数的定义域为(1,+ ∞ ).
(2) 要使函数有定义,必须
x2 + x-2 ≥ 0
- 1 ≤ x + 1
3
≤ 1
即
x ≥ 1 或 x ≤-2
- 4 ≤ x ≤ 2
所以函数的定义域为[-4 ,-2] ∪ [1,2].
例3 设f( x)的定义域是[0,1] ,求函数y = f x + 1
3
+ f x-1
3 的定
义域.
解 要使函数有定义,必须
0 ≤ x + 1
3
≤ 1
0 ≤ x-1
3
≤ 1
即
- 1
3
≤ x ≤ 2
3
1
3
≤ x ≤ 4
3
所以函数的定义域为
1
3
,
2
3
.
2.几类特殊函数
图1.1 4
例4 **值函数
f( x) = | x | =
x ( x > 0)
0 ( x = 0)
- x ( x < 0)
其定义域是(-∞,+ ∞ ) ,值域是[0,+ ∞ ) ,如图1.1 4
所示.
例5 符号函数
f( x) = sgn x =
1 ( x > 0)
0 ( x = 0)
- 1 ( x < 0)
其定义域是(-∞,+ ∞ ) ,值域是三个点的集合{-1,0,1} ,如图1.1 5 所示.
图1.1 5

图1.1 6
例6 取整函数f( x) = [ x] 表示不超过x 的*大整数,如图1.1 6 所示.
如
[3.01] = [3] = [π] = [3.999 99] = 3 , [-3.01] =-4
[-π] = [-3.14] =-4 , [-4] =-4
事实上,以上函数都是分段函数,所谓分段函数是指函数在定义域的不同范围
内的函数表达式不同,它实质上是一个函数,不能理解为两个或多个函数.
3.反函数与复合函数
在给定的函数y = f( x),x ∈ Df 中,若将y 看成自变量,x 看成因变量,这样
所确定的函数x = φ( y) 称为函数y = f( x) 的反函数,记为
x = f-1 ( y)
其中,反函数f-1 ( y)的定义域为f( Df ) ,值域为Df.
显然:(1) y = f( x) 与x = f-1 ( y) 互为反函数.
(2) y = f( x) 与y = f-1 ( x) 的图形关于y = x 对称.
设函数y = f( u) 的定义域为Df,函数u = φ( x) 的定义域是Dφ,当
Df ∩ Rφ ≠ ?时,橙x ∈ Df ?φ = { x | x ∈ Dφ,φ( x) ∈ Df } ,有函数φ( x) 的值在Df
的范围内,这样通过变量u 就得到y 与x 之间的对应关系,称为复合函数.记为
y = f{ φ( x)} , x ∈ Df ?φ
其中,y 是因变量;u 是中间变量;x 是自变量.
按定义的要求可知,构建复合函数的前提条件是: 内层函数的值域与外层函
数的定义域的交不空.也就是说,内层函数必须有函数值落在外层函数的定义域
内,否则就会成为无意义的函数.例如, y = u,u = sin x-2 ,复合起来y =
sin x-2 在实数范围内就无意义了.
有时在实际应用中既要知道由简单函数构造成复合函数,同时也要会将复合
函数分解为简单函数.
例7 设f( x) = 2
2-x ,求f[ f( x)].
解 f[ f( x)] = 2
2-f( x)
= 2
2-2
2-x
= 2-x
1-x
它的定义域是(-∞,1) ∪ (1,2) ∪ (2,+ ∞ ).
例8 y = 2 + sin(1 + ln x) 是由以下简单函数: y = u,u = 2 + sin v ,
v = 1 + ln x 复合而成的.
1.1.3 函数的性质
1.函数的单调性
设f( x)在区间I 上有定义,若对于任意x1,x2 ∈ I ,当x1 < x2 时,恒有
f( x1 ) ≤ f( x2 ) (或f( x1 ) ≥ f( x2 ))
则称f( x)在区间I 上为单调增加函数(或单调减少函数).
若对于任意x1,x2 ∈ I ,当x1 < x2 时,恒有f( x1 ) < f( x2 )(或f( x1 ) >
f( x2 )) ,则称f( x)在区间I 上为严格单调增加函数(或严格单调减少函数).
单调增加函数(或单调减少函数) 、严格单调增加函数(或严格单调减少函数)
统称为单调函数(也称函数具有单调性).
在几何上,单调增加(减少)函数的图形是沿x 轴的正向渐升的(或渐降的).如
图1.1 7(a)和图1.1 7(b)所示.

前言
第1章 函数、极限与连续
1.1 函数
1.1.1 常量与变量区间与邻域
1.1.2 函数的概念
l.1.3 函数的性质
1.1.4 初等函数
1.1.5 常用的经济函数
习题1.1
1.2 数列的极限
1.2.1 数列极限的定义
1.2.2 数列极限的性质
习题1.2
1.3 函数的极限
1.3.1 自变量**值无限增大时函数的极限
1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限
1.3.3 函数极限的性质
习题1.3
1.4 无穷小与无穷大
1.4.1 无穷小
1.4.2 无穷大
习题1.4
1.5 极限的运算法则
1.5.1 极限的四则运算法则
1.5.2 复合函数的极限运算法则
习题1.5
1.6 极限存在的准则两个重要极限
l.6.1 极限存在的准则
1.6.2 两个重要极限
习题1.6
1.7 无穷小的比较
习题1.7
1.8 函数的连续性与间断点
1.8.1 函数连续性的概念
1.8.2 函数的间断点
1.8.3 初等函数的连续性
习题1.8
1.9 闭区间上连续函数的性质
1.9.1 *大、*小值定理与有界性
1.9.2 零点定理与介值定理
习题1.9
1.10 MATLAB软件简介与极限计算
1.10.1 MATLAB的窗口环境
1.10.2 基本数学运算
1.10.3 MATLAB符号运算
1.10.4 计算函数极限
习题1.10
小结
总习题1
第2章 导数与微分
2.1 导数的概念
2.1.1 引例
2.1.2 导数的概念
2.1.3 导数的几何意义
2.1.4 左、右导数
2.1.5 可导与连续的关系
习题2.1
2.2 导数的基本公式与运算法则
2.2.1 导数的四则运算法则
2.2.2 反函数的求导法则
2.2.3 基本初等函数的求导公式
2.2.4 复合函数的求导法则
习题2.2
2.3 隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
2.3.1 隐函数的导数
2.3.2 对数求导法
2.3.3 参数方程表示的函数的导数
习题2.3
2.4 高阶导数
习题2.4
2.5 函数的微分
2.5.1 引例
2.5.2 微分的概念
2.5.3 函数可微的充要条件
2.5.4 微分的几何意义
2.5.5 微分的运算法则
2.5.6 微分在近似计算中的应用
习题2.5
2.6 导数在经济中的应用
2.6.1 边际分析
2.6.2 弹性分析
习题2.6
2.7 MATLAB语言程序设计基础与利用MATLAB计算导数
2.7.1 MATLAB语言程序设计基础
2.7.2 MATLAB计算函数导数
习题2.7
小结
总习题2
第3章 微分中值定理与导数的应用
3.1 微分中值定理
3.1.1 罗尔中值定理
3.1.2 拉格朗日中值定理
3.1.3 柯西中值定理
习题3.1
3.2 洛必达法则
3.2.1 □型未定式
3.2.2 □型未定式
3.2.3 其他类型的未定式(□)
习题3.2
3.3 利用导数研究函数的性态
3.3.1 函数的单调性
3.3.2 函数的极值
3.3.3 曲线的凹凸性与拐点
3.3.4 曲线的渐近线
3.3.5 函数图形的描绘
习题3.3
3.4 函数的*值及其应用
3.4.1 函数的*值
3.4.2 *值在经济学中的应用举例
习题3.4
3.5 MATLAB画图与利用MATLAB计算极值
3.5.1 MATLAB作图
3.5.2 MATLAB计算函数极值
习题3.5
小结
总习题3
第4章 不定积分
4.1 不定积分的概念与性质
4.1.1 原函数
4.1.2 不定积分
4.1.3 不定积分的几何意义
4.1.4 不定积分的性质
4.1.5 基本积分表
4.1.6 直接积分法
习题4.1
4.2 换元积分法
4.2.1 **类换元积分法
4.2.2 第二类换元积分法
习题4.2
4.3 分部积分法
习题4.3
4.4 有理函数的积分
习题4.4
4.5 积分表的使用
习题4.5
4.6 利用MATLAB计算原函数
习题4.6
小结
总习题4
第5章 定积分及应用
5.1 定积分的概念
5.1.1 引例
5.1.2 定积分的定义
5.1.3 定积分的几何意义
习题5.1
5.2 定积分的性质
习题5.2
5.3 微积分基本公式
5.3.1 积分上限函数及其导数
5.3.2 微积分基本公式(牛顿一莱布尼茨公式)
习题5.3
5.4 定积分的计算
5.4.1 定积分的换元积分法
5.4.2 定积分的分部积分法
习题5.4
5.5 定积分的近似计算
5.5.1 梯形法
5.5.2 抛物线法
习题5.5
5.6 广义积分
5.6.1 无限区间上的广义积分
5.6.2 无界函数的广义积分
5.6.3 г函数
习题5.6
5.7 定积分的应用
5.7.1 微元法
5.7.2 平面图形的面积
5.7.3 体积
5.7.4 平面曲线的弧长
5.7.5 定积分在经济中的应用
习题5.7
5.8 利用MATLAB计算定积分
习题5.8
小结
总习题5
参考答案
附录A 初等数学中的常用公式
附录B 积分表

《高等数学(上)》是依据教育部《经济管理类数学课程教学基本要求》,针对高等学校经济类、管理类各专业的教学实际编写的高等数学或微积分课程教材。
严培胜等编著的《高等数学(上)》继承和保持传统及经典的《高等数学》(或《微积分》)教材的优点和编排体系。全书共五章节,内容包括函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分等。本书适合经济、管理、部分理工科(非数学)、社科、人文等各专业学生。