刘伟、雷艳主编的《概率论与数理统计(第2版普通高等教育十二五规划教材)》根据全国高等院校工科数学“概率论与数理统计”课程教学的基本要求,介绍了该课程的基本理论和方法。本书是第二版,内容在**版的基础上有所增删。内容包括:随机事件及其概率,随机变量及其概率分布,多维随机变量及其概率分布,随机变量的数字特征,大数定律与**极限定理,样本及抽样分布,参数估计,假设检验等。其特点是紧密联系工程实际,叙述直观、详细,深入浅出,例题丰富,习题配备适当合理。
《概率论与数理统计(第2版普通高等教育十二五规划教材)》可作为高等院校工科、经济管理类各专业本科学生学习“概率论与数理统计”课程的教材,也可供工程技术人员参考。 概率论与数理统计-(第二版)_刘伟,雷艳_科学出版社_

第1 章 概率论的基本概念
在自然界和人们的日常实践活动中经常遇到各种各样的现象,这些现象大体上
可分为两类:一类是确定现象,例如“在一个标准大气压下,纯水加热到100 ℃ 时必然
沸腾,冷却到0 ℃ 时必然会结冰” ,“向上��一块石头必然下落” ,“同性电荷相互排斥,
异性电荷相互吸引”等等,这种在一定条件下有确定结果(也就是说,只有一种试验结
果)的现象称为确定现象或必然现象;另一类是随机现象,例如:“工程招标中,各投标
方中标的机会有多大” ,“测量一个物体的长度,其测量误差的大小” ,“从一批电视机
中随便取一台,这台电视机寿命的长短” ,“在相同的条件下,向上抛一枚质地均匀的
硬币,其结果可能是正面朝上,也可能是反面朝上”等等,这些现象在一定条件下进行
试验或观察某结果可能发生,也可能不发生(也就是说,试验的结果有多种可能) ,而
且在每次试验之前都无法预测会出现哪一个结果(也就是说,不能肯定试验会出现哪
一个结果) ,这种现象称为随机现象.
1.1 随机试验与随机事件
1.1.1 随机试验
由于随机现象的结果事先不能预知,乍看起来似乎毫无规律,然而人们发现当同
一随机现象大量重复出现时,其每种可能的结果出现的频率具有稳定性,从而表明随
机现象也有其固有的规律性.人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规
律性称为随机现象的统计规律性.概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规
律的一门数学学科.
为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察,下面
举一些重复观察随机现象的例子.
E1 :抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数;
E2 :抛一枚硬币,观察出现正面、反面的情况;
E3 :记录某市120 急救电话一昼夜接到的呼叫次数;
E4 :从某厂生产的同型号的灯泡中抽取一只,测试其寿命(即正常工作的小
时数) .
由以上各例我们可以看出,他们都具有如下共同的特点:
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行;
(2) 每次试验的可能结果不止一个,但所有可能的结果在试验前是明确知道的;
(3) 每次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
在概率论中,我们将对具有上述三个特点的随机现象的观察称为随机试验,简称
试验,记为E .本书以后在无特殊说明的情况下,提到的试验都指随机试验.
1.1.2 样本空间
尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的,但其所有可能结果是明确的,
要研究随机试验,首先要弄清楚这个试验的所有可能的结果.我们把随机试验的每
一种可能的结果称为一个样本点;所有样本点的全体构成的集合称为样本空间,记
作Ω .
例如,E1 的样本空间为Ω1 :{0 ,1 ,2 ,3} ;
E2 的样本空间为Ω2 :{正,反} ;
E3 的样本空间为Ω3 :{0 ,1 ,2 ,3 ,… } ;
E4 的样本空间为Ω4 :{ x|0 ≤ x < + ∞ } ,其中x 表示灯泡的寿命.
从这些例子可以看出,随着试验的不同,样本空间可能相当简单,也可能相当复
杂,在今后的讨论中,都认为样本空间是预先给出的,当然对于同一个随机试验,如果
考虑问题的角度不同,则其样本空间的选择也可能有所不同.
例如,掷一颗骰子这个随机试验,若考虑出现的点数,则样本空间为Ω = {1 ,2 ,3 ,
4 ,5 ,6} ;若考虑的是出现奇数点还是出现偶数点,则样本空间也可以取为Ω = {奇数}
及Ω = {偶数} .
由此说明,同一个随机试验可以有不同的样本空间.在实际问题中,选择恰当的
样本空间来研究随机现象是概率论中特别值得研究的问题.
1.1.3 随机事件
当我们通过随机试验来研究随机现象时,根据我们研究的目的,将随机试验的每
一个可能的结果即一个样本点构成的集合,称为一个基本事件.因为随机试验的所有
可能结果是明确的,从而所有的基本事件也是明确的.例如,在抛掷硬币的试验中“出
现反面”与“出现正面”是两个基本事件;在掷骰子试验中“出现1 点” ,“出现2 点” ,
“出现3 点” ,… … ,“出现6 点”这些都是基本事件.但是,在研究过程中,我们常常不
是关心某一个样本点在试验后是否出现,而是关心满足某些条件的样本点在试验后
是否出现,我们称满足这一条件的样本点构成的样本空间的子集为随机事件,简称事
件,通常用大写的字母A ,B ,C ,… 表示.在试验后,如果出现了事件A 中包含的某一
个样本点,则称事件A 发生,否则称事件A 不发生.
因为样本空间Ω 包含所有样本点,它也是本身的子集,因而在一次试验中,必然
要出现Ω 中的某一样本点,也就是说在试验中,Ω 必然要发生,所以称Ω 为必然事
件.由于空集?不包含任何一个的样本点,所以,在任意一次试验后,?永远不可能发
生,因此,称?为不可能事件.实质上必然事件就是在每次试验中都发生的事件,不可
能事件就是在每次试验中都不发生的事件,必然事件与不可能事件的发生与否,已经
失去了“不确定性”即随机性,因而本质上不是随机事件,但为了讨论问题的方便,还
是将它看作随机事件.
例1.1.1 一批产品共10 件,其中2 件次品,其余为**,从中任取3 件,这是
随机试验,如:
A 表示“恰有一件**” ;
B 表示“恰有两件**” ;
C 表示“至少有两件**” ;
D 表示“至少有一件次品” ,这些都是随机事件;
Ω 表示“三件中有**”为必然事件;
?表示“三件都是次品”为不可能事件,对这个随机试验来说,基本事件总数为
C31
0 个.
1.1.4 事件的关系与运算
对随机试验而言,它的样本空间Ω 可以包含很多随机事件,概率论的任务之一
就是研究随机事件的规律,通过对较简单事件规律的研究掌握更复杂事件的规律,为
此,需要研究事件和事件之间的关系与运算.
今后若没有特殊说明,认为样本空间Ω 是给定的,且还定义了Ω 中的一些事件
A ,B ,C ,Ak ( k = 1 ,2 ,… )等,由于随机事件是样本空间的子集,从而事件的关系与运
算和集合的关系与运算完全相类似.
1.事件的包含关系
若事件A 发生必然导致事件B 发生,则称事件B 包含事件A ,记作A 炒B 或
图1.1.1
B 车A ,如图1.1.1 所示.
特别地,对任何事件A ,A 炒Ω ,?炒A .
例1.1.2 设某种动物从出生活至20 岁记为事件A ,从
出生到25 岁记为事件B ,则A 车B .
2.事件的相等
若A 炒B ,同时有B 炒A ,称事件A 与事件B 相等,记作
A = B .易知相等的两个事件A 与B 总是同时发生或同时不
发生,在同一样本空间中两个事件相等意味着它们含有相同的样本点.
3.和事件(或并事件)
我们称“事件A 与事件B 中至少有一个发生”的事件为事件A 和事件B 的和事
件(或并事件) ,记作A ∪ B ,如图1.1.2 所示.
实质上,A ∪ B = { x| x ∈ A 或x ∈ B}表示“ A 发生或B
发生” .显然,A ∪ Ω = Ω ,A ∪ ?= A ,A ∪ A = A ,A 炒A ∪ B ,
B 炒A ∪ B .
类似地,称∪
n
k = 1 Ak 为n 个事件A1 ,A2 ,… ,An 的和事件,
称∪
∞
k = 1 Ak 为可列个事件A1 ,A2 ,… 的和事件.
例1.1.3 设有某种圆柱形产品,若底面直径和高都合
格,则该产品合格.
令A 表示“直径不合格” ,B 表示“高度不合格” ,则A ∪ B 表示“产品不合格” .
4.积事件(或交事件)
我们称“事件A 与事件B 同时发生”的事件为事件A 和事件B 的积事件(或交
事件) ,记作A ∩ B ,简记A B ,如图1.1.3 所示.
实质上,A ∩ B = { x| x ∈ A 且x ∈ B}表示“ A 发生且B 发生” .显然,A ∩ Ω = A ,
A ∩ ?= ?,A ∩ A = A ,A ∩ B 炒A ,A ∩ B 炒B .
类似地,称∩
n
k = 1 Ak 为n 个事件A1 ,A2 ,… ,An 的积事件,称∩
∞
k = 1 Ak 为可列个事件
A1 ,A2 ,… 的积事件.
如例1.1.3 中,若C 表示“直径合格” ,D 表示“高度合格” ,则C ∩ D 表示“产品合格” .
5.差事件
我们称“事件A 发生而事件B 不发生”的事件为事件A 与事件B 的差事件,记
作A - B ,如图1.1.4 所示.
实质上,A - B = { x| x ∈ A 且x 臭B} ,明显地有A - B = A - A B ,A - ?= A .
如例1.1.3 中事件A - B 表示“该产品的直径不合格,而高度合格” .
6.互不相容事件(或互斥事件)
若事件A 与事件B 不能同时发生,即A B = ?,称事件A 与事件B 为互不相容
事件(或互斥事件) ,如图1.1.5 所示.
注 任意两个基本事件都是互斥的.
7.对立事件(或逆事件)
我们称“差事件Ω - A”为事件A 的对立事件或称为事件A 的逆事件,记作A ,如
图1.1.6 所示.
显然A ∪ A = Ω ,A A = ?,由此说明,在一次试验中A 与A 有且仅有一个发生,
另外,?A = A ,?Ω = ?,?- = Ω ,A - B = A B .
若A 与B 为互斥事件,则AB = ?;而若A 与B 为对立事件,则AB = ?且A ∪ B = Ω ,
因此,若A 与B 为互斥事件,则A 与B 不一定为对立事件;但若A 与B 为对立事件,
则A 与B 必为互斥事件.
例1.1.4 设有100 件产品,其中5 件产品为次品,从中任取10 件产品.记A 表
示“10 件产品中至少有一件次品” ,则其逆事件A 表示“10 件产品中没有次品” ,即
“10 件产品全是**” .
由此说明,若事件A 比较复杂时,往往它的对立事件比较简单,因此,我们往往
可以把对复杂事件的研究转化为对它的对立事件的研究.
事件间的关系及运算和集合的关系及运算是一致的,因此,事件之间满足如下运
算规律:
(1) 交换律:A ∪ B = B ∪ A ,A B = B A ;
(2) 结合律:( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C) ,( A B) C = A( BC) ;
(3) 分配律:A ∪ ( BC) = ( A ∪ B)( A ∪ C) ,A( B ∪ C) = A B ∪ A C ;
(4) 德? 摩根律:A ∪ B = A ∩ B ,A ∩ B = A ∪ B .
例1.1.5 甲、乙、丙三人各射击一次靶子,记事件A 表示“甲击中靶子” ,事件B
表示“乙击中靶子” ,事件C 表示“丙击中靶子” ,则可用上述三个事件的运算来分别
表示下列各事件:
(1) “甲未击中靶子” : A ;
(2) “甲击中靶子而乙未击中靶子” : A B ;
(3) “三人中只有丙未击中靶子” : A B C ;
(4) “三人中恰好有一人击中靶子” : A B C ∪ AB C ∪ A B C ;
(5) “三人中至少有一人击中靶子” : A ∪ B ∪ C 或A B C ;
(6) “三人中至少有一人未击中靶子” : A ∪ B ∪ C 或A BC ;
(7) “三人中恰有两人击中靶子” : A B C ∪ A BC ∪ ABC ;
(8) “三人中至少两人击中靶子” : A B ∪ A C ∪ BC ;
(9) “三人均未击中靶子” : A B C ;
(10) “三人中至多一人击中靶子” : A B C ∪ A B C ∪ A BC ∪ A B C ;
(11)“三人中至多两人击中靶子” : A BC或A ∪ B ∪ C ;
注 用其他事件的运算来表示一个事件,方法往往不**,如本例中的(6)和
(11)实际上是同一事件,读者应学会用不同方法表达同一事件,特别在解决具体问题
时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法.
例1.1.6 化简下列事件:
(1) ( A ∪ B)( A ∪ B) ;(2) A B ∪ AB ∪ A B .
解 (1) ( A ∪ B)( A ∪ B) = [ A( A ∪ B)] ∪ [ B( A ∪ B)] (分配律)
= ( A A ∪ AB) ∪ ( B A ∪ BB) (分配律)
= ( A ∪ AB) ∪ ( B A ∪ ?)
= A ∪ B A = A(因AB 炒A) .
(2) A B ∪ A B ∪ A B = A B ∪ AB ∪ A B ∪ A B
= A B ∪ A B ∪ A B ∪ A B (交换律)
= ( A B ∪ A B) ∪ ( AB ∪ A B) (结合律)
= ( A ∪ A) B ∪ A( B ∪ B) (分配律)
= B ∪ A = A B (德? 摩根律) .
1.2 频率与概率
1.2.1 频率
对一个随机试验来说,随机事件发生的可能性大小是自身决定的,并且是客观存
在的.概率是随机事件发生可能性大小的度量.本节要研究的一个根本问题,是对一
个给定的随机事件发生可能性大小的度量究竟如何描述? 如何计算? 我们希望找到
一个合适的数来表示随机事件在一次试验中发生可能性的大小,为此,我们首先引入
频率,他描述了随机事件发生的频繁程度,进而引出表示随机事件在一次试验中发生
可能性的大小的数―― 概率.

第二版前言
**版前言
第1章 概率论的基本概念
1.1 随机试验与随机事件
1.2 频率与概率
1.3 等可能概型
1.4 条件概率与随机事件的独立性
1.5 全概率公式与贝叶斯公式
本章小结
习题1
第2章 随机变量及其分布
2.1 随机变量的概念
2.2 离散型随机变量及其概率分布
2.3 随机变量的分布函数
2.4 连续型随机变量及其概率密度
2.5 随机变量函数的分布
本章小结
习题2
第3章 多维随机变量及其分布
3.1 多维随机变量的概念
3.2 二维离散型随机变量
3.3 二维连续型随机变量
本章小结
习题3
第4章 随机变量的数字特征
4.1 随机变量的数学期望
4.2 随机变量的方差
4.3 协方差与相关系数
本章小结
习题4
第5章 大数定律与**极限定理
5.1 大数定律
5.2 **极限定理
本章小结
习题5
第6章 样本及抽样分布
6.1 随机样本
6.2 抽样分布
6.3 经验分布函数与直方图
本章小结
习题6
第7章 参数估计
7.1 点估计
7.2 估计量的评价标准
7.3 区间估计
7.4 正态总体均值与方差的区间估计
7.5 单侧置信区间
本章小结
习题7
第8章 假设检验
8.1 假设检验原理与步骤
8.2 单个正态总体的假设检验
8.3 两个正态总体的假设检验
8.4 非正态总体的假设检验
8.5 假设检验与区间估计的关系
8.6 样本容量的选择
8.7 分布拟合检验与独立性检验
本章小结
习题8
习题答案
附录
附表一 几种常用的概率分布
附表二 泊松分布表
附表三 标准正态分布表
附表四 X2分布表
附表五 t分布表
附表六 F分布表
附表七 均值的t检验的样本容量
附表八 均值差的t检验的样本容量
附表九 相关系数检验表

刘伟、雷艳主编的《概率论与数理统计(第2版普通高等教育十二五规划教材)》是为普通高等学校本科生编写的教材,由概率论和数理统计两部分组成。概率论部分包括随机事件及其概率,随机变量的分布,数字特征,大数定律及**极限定理;数理统计部分包括样本及抽样分布,参数估计,假设检验,方差分析与回归分析等。本书重视概率论与数理统计的趣味性和实用性,紧密联系应用领域,在例题的选择上,力求将具体的工程实例问题归结为相应的概率统计问题。