《普通高等教育“十二五”规划教材:高等数学(套装上下册)》是根据普通高等理工科院校高等数学课程的基本要求,结合研究生入学考试的需求。汲取同内外**教材的优点编写而成。全书分上、下两册。下册内容包括空间解析几何与向量代数,多元函数微分法及其应用,重积分,曲线积分与曲面积分,无穷级数。本书力求结构严谨、逻辑清晰、叙述简练,并从较典型的实际问题着手,引入概念和突出应用。内容与中学数学相衔接,由浅入深,循序渐进,便于教学与自学。书中各章节的主要内容都配有适量的例题和习题,着重训练读者对定义与概念的理解和对定理与方法的应用能力,培养读者解决问题的逻辑思维方法和创新能力。而每章都配有适量的总习题,便于读者掌握重要的基本概念与数学思想,有利于巩同**内容。
《普通高等教育“十二五”规划教材:高等数学(套装上下册)》可用作普通高等学校非数学专业的本科生的高等数学课程的教材。若不讲部分带星号的内容,也可作为少学时的高等数学课程的教材。还可供从事高等数学课程教学的教师和科研工作者参考。 高等数学-(上.下册)_何满喜_科学出版社_

第1章 极限与连续
高等数学是变量数学,它的研究对象、研究方法与初等数学相比都有相当大的差异:它的主要研究对象是函数;它的主要内容是微积分学,即微分学与积分学。而微积分的主要课题在于研究变量的变化性态。为了利用变量的变化趋势、变化速度以及变化的累积效应等要素刻画变化过程的特征,人们提出并发展了极限的理论和方法。实际上,微分学中的重要概念――导数就是一类特殊的极限,而积分学中的重要概念――定积分又是另一类特殊的极限,极限的理论和方法构成了整个微积分的基础。本章主要介绍极限的基本概念、基本性质、基本运算,并且利用极限描述函数的连��性。连续函数是*常见的一类函数,它具有一系列很好的性质。本章内容是学习微积分必须具备的理论基础。
1.1 函 数
1.1.1 预备知识
1.1.1.1 常量与变量
在日常生活或生产实践中,观察某一个事件的结果往往是用一个量的形式来表现的,在某一个观察的过程中始终保持不变的量称为常量,有的量在观察过程中是变化的,也就是可以取不同的数值,这样的量称为变量。例如圆周率π是永远不变的量,它是一个常量;某商品的价格在一定的时间段内是不变的,所以在这段时间内它也是常量;又如**中的气温、工厂在生产过程中的产量都是不断变化的量,这些量都是变量。
必须注意,常量和变量的概念是相对的,它们依赖于所考察的过程。在不同的过程中常量和变量是可以转化的,如商品的价格某段时间是常量,另一段时间就有可能是变量了。
1.1.1.2 集合、区间和邻域
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些具有同一种属性的元素组成的总体称为集合(简称集)。例如,某班的全体学生组成一个集合;长虹集团2005年度的所有产品组成一个集合;所有正有理数组成一个集合;等等。
集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如&"身材较高的人&"不能构成集合,因为它的元素不是确定的。
如无特别声明,可用如下符号表示一些常用数集:
R―实数集;Q―有理数集;Z―整数集;N―自然数集。
有关集合的表示、集合的运算符、集合的运算等方面的基本知识,中学数学已有介绍,这里就不一一赘述了。如果变量的变化是连续的,则用区间来表示其变化范围。在数轴上,区间是指介于
某两点之间的线段上点的全体。常用的区间有以下几种:闭区间 [a,b]={x|a≤x≤b}开区间 (a,b)={x|a 此之外,还有无限区间,例如:(a,+∞)={x|x>a} 表示大于a的实数的全体;[a,+∞)={x|x≥a} 表示不小于a的实数的全体;(-∞b)={x|x 其中-∞和+∞分别读作&"负无穷大&"和&"正无穷大&",它们不是数,仅仅是记号。为了方便讨论数轴上某点附近的性质,我们引入邻域的概念。定义1 设a是一个实数,δ是正数,数轴上到点a的距离小于δ的点的全体,称为
点a的δ邻域,记作U(a,δ),即U(a,δ)=(a-δ,a+δ)={x
|x-a|<δ},其中,点a称为此邻域的**,δ称为此邻域的半径。若不需要指明半径时,可记作U(a)。
有时用到的邻域需要把**去掉,称为点a的去心δ邻域,记作U°(a,δ),即U°(a ,δ)= { x
0<|x-a|<δ}。为了方便,我们可以引入下面的记号:[a,a+δ)=U+(a,δ)称为点a的δ右邻域;
(a,a+δ)=U°+(a,δ)称为点a的去心δ右邻域;(a-δ,a]=U-(a,δ)称为点a的δ左邻域;(a-δ,a)=U° -(a,δ)称为点a的去心δ左邻域。
1.1.2 函数概念
变量、运动与曲线的数学描述,催生了函数的思想,并把函数概念和方法置于整个数学的**地位。微积分的研究对象是函数,几何图形则成为函数的图像。世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同的函数作为它们的数学模型。
函数的概念在历史上经过多次的扩展演化,其间经历了漫长的过程。在16世纪,变化着的量之间的依赖关系成为科学研究的重要方面,反映到数学里,就产生变量和函数的概念。在科学史上意大利物理学家伽利略?伽利雷(GalileoGalilei,1564~1642)首先研究了变量间相互依存的关系,在他的名著《两门新科学》中就指出诸如&"从静止状态
自由下落的物体所经过的距离与所用的时间成正比&",即s=21 gt2 渗透着函数的思想。
&"变量&"的概念*先是由法国数学家笛卡儿(DescartesRene,1596~1650)提出的,他在《几何学》中引入坐标同时也引入了变量,他在指出x,y是变量的同时,还注意到数y依赖于x的变化而变化,这正是函数思想的萌芽,从此数学由只研究常量进而开始研究变量。英国科学家牛顿(SirIsaacNewton,1643~1727)在伽利略、笛卡儿的研究背景下,意识到&"曲线是由于点的连续运动&",即曲线是动点的轨迹,动点的位置(x,y)是时间的函数x=x(t),y=y(t)。牛顿创立微积分时以流数(fluent)一词表示变量间的关系。
*早提出函数概念是莱布尼茨(GottfriedWilhelmvonLeibnitz,1646~1716)。1673年莱布尼茨使用函数(function)一词,用来表示一个随着曲线上的点变动而变动的量,他把变动的量称x,与x同时变动的变数称为x的函数。其后,他的学生瑞士数学家约翰?伯努利(JohannBernoulli,1667~1748)又把函数看作一个变量和一些常数组成的表达式。伯努利的学生瑞士数学家欧拉(LeonhardEuler,1707~1783)则把这一定义又推进一步,在1748年他指出:一个变量的函数,是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析式。欧拉使伯努利所强调的函数要用公式表示变得更加的明朗化,他将解析式定义为函数。清代数学家李善兰(1811~1882)与英国传教士伟列亚历山大合译的《代微积拾级》中,将&"function&"译作了&"函数&",意即&"凡此变数中函彼变数,则此为彼之函数&"。瑞士数学家欧拉于1724年首先使用函数的记号f(x),一直沿用至今。
……

上册
前言
第1章 极限与连续
1.1 函数
1.2 数列的极限
1.3 函数的极限
1.4 函数的连续性
总习题1
第2章 导数与微分
2.1 导数的概念
2.2 函数的求导法则
2.3 高阶导数
2.4 隐函数及参数方程所确定的函数的求导方法
2.5 函数的微分
总习题2
第3章 微分中值定理与导数的应用
3.1 微分中值定理
3.2 洛必达法则
3.3 泰勒公式及应用
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
3.5 函数的极值与应用
3.6 函数图形的描绘
3.7 曲线的曲率
总习题3
第4章 一元积分学
4.1 定积分的概念与性质
4.2 原函数与不定积分
4.3 微积分基本定理与基本公式
4.4 两种基本积分法
4.5 几种特殊类型的积分
4.6 定积分的应用
4.7 反常积分
总习题4
第5章 常微分方程
5.1 常微分方程的基本慨念
5.2 一阶常微分方程
5.3 可降阶的高阶微分方程
5.4 高阶线性微分方程
5.5 高阶常系数线性微分厅程
总习题5
习题参考答案
附录
A1 三角函数的部分公式
A2 积分公式
下册