线性代数按照“讲清道理,再讲推理”的模式编写,系统、连贯地介绍了行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的相似二次型、向量空间与线性变换等内容。考虑到不同学时不同层次的教学需要,书中第7章为选学内容,不会影响教材的系统性。在例题、习题选取方面,线性代数遵循少而精、难易适度的原则,每章均配有典型例题和习题,书后附有参考答案与提示,并精心设计了“问题与探究”栏目。
线性代数注重化解抽象理论的难度,易教易学,可读性强,适合一般本科院校理工类、经管类专业使用。 线性代数_李桂贞陈**张君敏李思彦王海青刘卉_科学出版社_

1.1 行列式的定义
一、排列与逆序
定义1.1.1 由自然数1 ,2 ,3 ,… ,n 组成的有序数组j1 j2 … jn 称为一个n 阶排
列.例如,3214 是一个四阶排列,645213 是一个六阶排列.由1 ,2 ,3 ,4 可组成4 ! =
24 个不同的四阶排列.1 ,2 ,3 ,… ,n 可组成n ! 个不同的n 阶排列.按数字的自然顺
序由小到大的n 阶排列123 … n 称为标准排列.
定义1.1.2 在一个排列中,若一个较大的数排在一个较小的数的前面,称这两个
数构成一个逆序.一个排列中,逆序的总数称为这个排列的逆序数,记为τ( j1 j2 … jn ) .
逆序数是奇数的排列称为奇排列;逆序数是偶数的排列称为偶排列.
例1.1.1 求排列362514 与n( n - 1) … 321 的逆序数.
解 排列362514 中,3 在1 和2 前面,6 在1 ,2 ,4 和5 前面,2 在1 前面,5 在1
和4 前面,共有9 个逆序,即τ(362514) = 2 + 4 + 1 + 2 + 0 + 0 = 9 ,为奇排列;
τ( n( n - 1) … 321) = ( n - 1) + ( n - 2) + … + 2 + 1 + 0 = n( n - 1)
2 ,当n 等于4 k 和
4 k + 1 时为偶排列,当n 等于4 k + 2 和4 k + 3 时为奇排列.
把一个排列中的两个数的位置互换,其余的数不动,就得到一个新的排列,这样
的变换称为排列的一个对换.
例如,将362514 中的6 和1 对换,得到新的排列312564 ,它的逆序数τ(312564) =
4 ,为偶排列.可见,经过一次对换后,排列的奇偶性发生了改变.
定理1.1.1 每一个对换都改变排列的奇偶性.
证 分两种情况讨论.
(1) 相邻两个数对换的情况.
设排列为
Ai j B , (1.1)
经过i 与j 的对换变为排列
A j iB , (1.2)
其中A ,B 表示除i ,j 两个数外的其余数.比较排列(1.1)与排列(1.2)中的逆序,A ,
B 中数的次序没有改变,i ,j 与A ,B 中数的次序也没有改变,仅仅改变了i 与j 的次
序,因此排列(1.2)仅比排列(1.1)增加了一个逆序(当i < j 时) ,或减少了一个逆序
(当i > j 时) ,所以它们的奇偶性相反.
(2) 一般对换的情况.
设排列为
Aik1 k2 … ks j B , (1.3)
经过i 与j 的对换变为排列
A j k1 k2 … ks iB , (1.4)
将排列(1.3)中数i 依次与k1 ,k2 ,… ,ks ,j 作s + 1 次相邻对换,变为
Ak1 k2 … ks j iB , (1.5)
再将排列(1.5)中的j 依次与ks ,ks - 1 ,… ,k1 作s 次相邻对换,得到排列(1.4) ,即排
列(1.4)可由排列(1.3)经过2 s + 1 次相邻对换得到.由情况(1)可知,它改变了奇数
次奇偶性,所以排列(1.4)与排列(1.3)的奇偶性相反.□
推论1.1.1 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数,偶排列变成标准排列的
对换次数为偶数.
证明留给读者.
二、二阶与三阶行列式
设二元线性方程组为
a11 x1 + a12 x2 = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 = b2 .
(1.6)
用消元法解此方程组,得
( a11 a22 - a12 a21 ) x1 = b1 a22 - a12 b2 , ( a11 a22 - a1 2 a21 ) x2 = a11 b2 - b1 a21 .
当a11 a22 - a12 a21 ≠ 0 时,方程组(1.6)有**解
x1 = b1 a22 - a12 b2
a11 a22 - a12 a21
,
x2 = a11 b2 - b1 a21
a11 a22 - a12 a21
.
(1.7)
为了便于记忆,引入记号
D =
a11 a12
a21 a22
, 并规定
a11 a12
a21 a22
= a11 a22 - a12 a21 . (1.8)
称D 为二阶行列式.D 中横写的称为行,竖写的称为列.数ai j ( i = 1 ,2 ;j = 1 ,2)称为
行列式D 的元素.元素ai j 的**个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行;第二个
下标j 称为列标,表明该元素位于第j 列.
图1.1
上述行列式的定义,可用对角线法则(图1.1)来记忆.把行列式中从
左上角到右下角的实连线称为主对角线,从右上角到左下角的虚连线称
为次对角线.由式(1.8)可知,二阶行列式的值是主对角线上两元素之积
减去次对角线上两元素之积所得的差.按照这个规则,又有
D1 =
b1 a12
b2 a22
= b1 a22 - a12 b2 , D2 =
a11 b1
a21 b2
= a11 b2 - b1 a21 .
于是,当D ≠ 0 时,二元线性方程组(1.6)的解可写成
x1 = D1
D =
b1 a12
b2 a22
a11 a12
a21 a22
, x2 = D2
D =
a11 b1
a21 b2
a11 a12
a21 a22
.
同理,考虑三元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ,
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 .
(1.9)
用消元法先后消去x2 ,x3 得到
x1 = b1 a22 a33 + a1 2 a23 b3 + a13 b2 a32 - a13 a22 b3 - a12 b2 a33 - b1 a23 a32
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a23 a3 2 - a12 a21 a33 - a13 a2 2 a31
.
记
D =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
,
并规定
a11 a12 a1 3
a21 a22 a2 3
a31 a32 a3 3
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a1 3 a21 a32
- a11 a23 a32 - a12 a21 a3 3 - a13 a22 a31 . (1.10)
由于D 中共有三行三列,称它为三阶行列式.如果D ≠ 0 ,容易解出方程组(1.9)
的**解为
x1 = D1
D , x2 = D2
D , x3 = D3
D ,
其中Dj ( j = 1 ,2 ,3)分别是将D 中的第j 列的元素换成方程组(1.9)右端的常数项
b1 ,b2 ,b3 得到的.
图1.2
上述定义表明三阶行列式含6 项,每项均为不同行
不同列的三个元素的乘积再冠以正负号,其规律遵循图
1.2 所示的对角线法则:图中有三条实线看成是平行于
主对角线的连线,三条虚线看成是平行于次对角线的连
线,实线上的三个元素的乘积冠正号,虚线上的三个元素
的乘积冠负号.
例1.1.2 计算三阶行列式
D =
1 2 3
4 0 5
- 1 0 6
.
解 按对角线法则,有
D = 1 × 0 × 6 + 2 × 5 × ( - 1) + 3 × 4 × 0
- 1 × 5 × 0 - 2 × 4 × 6 - 3 × 0 × ( - 1)
= - 10 - 48 = - 58 .
例1.1.3 求解方程
1 1 1
2 3 x
4 9 x2
= 0 .
解
1 1 1
2 3 x
4 9 x2
= 3 x2 + 4 x + 18 - 9 x - 2 x2 - 12 = x2 - 5 x + 6 .
由x2 - 5 x + 6 = 0 解得x = 2 或x = 3 .
注 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
为研究更高阶行列式,下面引出n 阶行列式的概念.
三、n 阶行列式的定义
为了给出n 阶行列式的定义,首先研究三阶行列式的结构.见式(1.10) ,三阶行
列式定义为
D =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a3 2
- a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31 .
(1) 式(1.10)右边任一项除正负号外可以写成a1 j1 a2 j2 a3 j3 ,三个元素位于不同行
不同列.这里**个下标(行标)排成标准排列123 ,第二个下标(列标)排成j1 j2 j3 ,它
是1 ,2 ,3 三个数的某个排列.这样的排列共有3 ! = 6 种,对应式(1.10)右端共含
6 项.
(2) 各项的正负号与列标的排列对照:
带正号的三项列标排列是:123 ,231 ,312 ;
带负号的三项列标排列是:132 ,213 ,321 .
易知前三个排列都是偶排列,后三个排列都是奇排列.因此各项所带正负号可以
表示为( - 1)τ( j1 j2 j3 ) .
于是,三阶行列式可以写成
D =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= Σ j1 j2 j3
( - 1)τ( j1 j2 j3 ) a1 j1 a2 j2 a3 j3 .
推而广之,可以定义n 阶行列式:
定义1.1.3 用n2 个元素ai j ( i ,j = 1 ,2 ,… ,n)排成n 行n 列,称
a1 1 a12 … a1 n
a2 1 a22 … a2 n
? ? ?
an1 an2 … ann
为n 阶行列式,它等于所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积
a1 j1 a2 j2 … anj n
的代数和,其中j1 j2 … jn 是数字1 ,2 ,… ,n 的某个排列,共有n ! 项,每项前面带有符
号( - 1)τ( j1 j2 … j n) ,即
D =
a11 a12 … a1 n
a21 a22 … a2 n
? ? ?
an1 an2 … ann
= Σ j1 j2 … j n
( - 1)τ( j1 j2 … j n) a1 j1 a2 j2 … anj n , (1.11)
其中Σ j1 j2 … j n
表示对1 ,2 ,… ,n 这n 个数组成的所有排列j1 j2 … jn 求和.
n 阶行列式也可简记为D = | ai j | .当n = 1 时,即为一阶行列式,并规定| a| = a .
例1.1.4 计算n 阶行列式
a11 a12 … a1 n
0 a22 … a2 n
? ? ?
0 0 … ann
.
解 由n 阶行列式的定义知,展开式的一般项为a1 j1 a2 j2 … anj n ,n 个元素必须取
自不同的行不同的列.要计算该行列式的值,只需把其中的非零项求出来即可.
第n 行除了ann 外,其余元素都是零,所以jn = n ;在第n - 1 行中,除了an - 1 ,n - 1 ,
an - 1 ,n外,其余元素都是零,而an - 1 ,n ,ann 在同一列,所以只能取jn - 1 = n - 1 ;如此下
去,在**行只能取j1 = 1.因此该行列式展开式中不为零的项只有一项
a11 a22 … ann ,
而该项的列标的排列是标准排列,其逆序数为零,所以取正号,故
a11 a12 … a1 n
0 a22 … a2 n
? ? ?
0 0 … ann
= a11 a22 … ann ,
称上面形式的行列式为上三角形行列式.
用同样的方法可得下三角形行列式
a11 0 … 0
a21 a22 … 0
? ? ?
an1 an2 … ann
= a11 a22 … ann .
特别地,对于对角形行列式,有
a11 0 … 0
0 a22 … 0
? ? ?
0 0 … ann
= a11 a22 … ann .
类似地,可以证明
a11 … a1 ,n- 1 a1 n
a21 … a2 ,n- 1 0
? … ?
an1 0 … 0
=
0 … 0 a1 n
0 … a2 ,n- 1 a2 n
? ? ?
an1 … an ,n- 1 ann
=
0 … 0 a1 n
0 … a2 ,n- 1 0
? ? ?
an1 … 0 0
= ( - 1)n( n- 1)
2 a1 n a2 n- 1 … an1 .
能否在定义1.1.3 中n 个元素的相乘项里把元素的列标按标准排列,而由行标
排列的逆序数决定各项前正负号呢? 下面的定理正面回答了这一问题.
定理1.1.2 n 阶行列式也可定义为
D =
a1 1 a12 … a1 n
a2 1 a22 … a2 n
? ? ?
an1 an2 … ann
= Σ i1 i2 … in
( - 1)τ( i1 i2 … in) ai1 1 ai2 2 … ainn , (1.12)
式中Σ i1 i2 … in
表示对1 ,2 ,… ,n 这n 个数组成的所有排列i1 i2 … in 求和.
证 对于式(1.11)右端的任意一项
( - 1)τ( j1 j2 … j n) a1 j1 a2 j2 … anj n ,
当列标组成的排列j1 j2 … jn 经过s 次对换变成标准排列1 2 … n 时,相应的行标组成
的排列1 2 … n 经过s 次对换变成排列i1 i2 … in ,由乘法的可交换性得
a1 j1 a2 j2 … anj n = ai1 1 ai2 2 … ainn .

前言
第1章 行列式
1.1 行列式的定义
1.2 行列式的性质
1.3 行列式的展开
1.4 拉普拉斯定理
1.5 克拉默法则
习题1
问题与探究
第2章 矩阵
2.1 矩阵及其运算
2.2 可逆矩阵
2.3 矩阵的初等变换
2.4 矩阵的秩
2.5 分块矩阵
习题2
问题与探究
第3章 向量
3.1 向量的定义及其运算
3.2 向量组的线性相关性
3.3 极大线性无关组
习题3
问题与探究
第4章 线性方程组
4.1 线性方程组的表达
4.2 线性方程组的解法
4.3 线性方程组解的结构
习题4
问题与探究
第5章 矩阵的相似
5.1 矩阵的特征值与特征向量
5.2 相似矩阵
5.3 矩阵的对角化
习题5
问题与探究
第6章 二次型
6.1 二次型的表达
6.2 二次型的标准形
6.3 正定二次型
习题6
问题与探究
第7章 向量空间与线性变换
7.1 向量空间的定义与性质
7.2 向量空间的基、维数和坐标
7.3 过渡矩阵
7.4 线性变换的定义与性质
7.5 线性变换的矩阵
习题7
问题与探究
参考答案与提示
参考文献
附录 历年硕士研究生入学考试高等数学试题线性代数部分节选

《线性代数》系统、连贯地介绍了行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的相似二次型、向量空间与线性变换等内容。《线性代数》注重化解抽象理论的难度,易教易学,可读性强,适合一般本科院校理工类、经管类专业使用。