《线性代数与解析几何》系统介绍了线性代数与解析几何的基本理论和方法,主要内容包括行列式、矩阵、空间解析几何与向量运算、n维向量、线性方程组、矩阵相似对角化、二次型、MATLAB简述与应用。《线性代数与解析几何》注重代数与几何的有机结合,强调矩阵初等变换的作用,将数学建模思想融入教材,注重应用背景及实例的介绍,并精选了大量的例题和习题,便于学生自学。
《线性代数与解析几何》可作为高等学校理工、经管类本科生教材,也可以作为教师的教学参考书及考研学生的复习参考书。 线性代数与解析几何_赵礼峰李雷张爱华王晓平万彩云_科学出版社_

第1 章行列式
在生产实践与科学研究中,一些变量之间的关系可以直接或近似地表示为线
性函数,因此研究线性函数就具有相当重要的意义。线性代数主要研究线性函数,
其中线性方程组是*基本的内容,而行列式又是线性方程组的重要工具,它在数学
及其他学科分支领域(如通信、自动化、力学等) 都有着广泛的应用,在工程实践
中也有着重要作用。由求解��元和三元线性方程组,引入了二阶和三阶行列式; 在
此基础上引入n 阶行列式的定义,并给出相关性质和计算方法。此外,在后面章节
中还要介绍行列式的应用。
1.1 行列式的定义
在讨论n 阶行列式之前,我们先介绍二阶、三阶行列式以及利用它们求解二
元、三元线性方程组的方法。
1.1.1 二阶行列式
对于二元线性方程组
( a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
当a11a22 ? a12a21 6= 0 时,用消元法解得
x1 = b1a22 ? b2a12
a11a22 ? a12a21
; x2 = b2a11 ? b1a21
a11a22 ? a12a21
为了便于记忆,我们引进记号
D =――
a11 a12
a21 a22――
= a11a22 ? a12a21 (1:1)
并称它为二阶行列式,也是线性方程组的系数行列式。它
含有两行两列,横写的称为行,竖写的称为列。行列式中
的数称为行列式的元素,aij 就是第i 行第j 列元素,aij
的第1 个下标i 称为行下标,表示该元素所在的行,第2
个下标j 称为列下标,表示该元素所在的列。
对于上述二阶行列式的定义,可用对角线法则来记
忆,如图1.1 所示。
从上述定义可知,二阶行列式就是两项的代数和:一项是从左上角到右下角
(又称为行列式的主对角线) 两个元素的乘积,取正号;另一项是从右上角到左下角
(又称为行列式的次对角线) 两个元素的乘积,取负号。
若记D1 =――
b1 a12
b2 a22――
; D2 =――
a11 b1
a21 b2――
则x1 = D1
D
=
――
b1 a12
b2 a22――
――
a11 a12
a21 a22――
; x2 = D2
D
=
――
a11 b1
a21 b2――
――
a11 a12
a21 a22―― 像这样用行列式表示的解,形式简单、容易记忆。
例1.1 求解二元线性方程组( 3x1 ? 2x2 = 12
2x1 + x2 = 1
。
解由于
D =――
3 ?2
2 1――
= 3 ? (?4) = 7 6= 0
D1 =――
12 ?2
1 1――
= 12 ? (?2) = 14; D2 =――
3 12
2 1――
= 3 ? 24 = ?21
因此x1 = D1
D
=
14
7
= 2; x2 = D2
D
= ?21
7
= ?3
1.1.2 三阶行列式
设三元线性方程组
8>
>:
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
用消元法解得
x1 = b1a22a33 + a12a23b3 + a13b2a32 ? b1a23a32 ? a12b2a33 ? a13a22b3
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ? a11a23a32 ? a12a21a33 ? a13a22a31
x2 = a11b2a33 + b1a23a31 + a13a31b3 ? a11a23b3 ? b1a21a33 ? a13b2a31
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ? a11a23a32 ? a12a21a33 ? a13a22a31
x3 = a11a22b3 + a12b2a31 + b1a21a32 ? a11b2a32 ? a12a21b3 ? b1a22a31
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ? a11a23a32 ? a12a21a33 ? a13a22a31
其中,分母不为零。此表达式比二元线性方程组的解表达式要复杂得多,为了能够
将解简单表达,我们引入三阶行列式的定义。
令D=――ˉˉˉ
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
――ˉˉˉ
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
?a11a23a32 ? a12a21a33 ? a13a22a31
(1.2)
称之为三阶行列式。三阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆,图1.2 中三条实
线看做是平行于主对角线的连线。三条虚线看做是平行于负对角线的连线。实线上
三元素乘积带正号,虚线上三元素乘积带负号。
图1.2
若记D =――ˉˉˉ
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
――ˉˉˉ
; D1 =――ˉˉˉ
b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33
――ˉˉˉ
D2 =――ˉˉˉ
a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33
――ˉˉˉ
; D3 =――ˉˉˉ
a11 a12 b1
a21 a22 b2
a31 a32 b3
――ˉˉˉ
则x1 = D1
D
; x2 = D2
D
; x3 = D3
D
观察三阶行列式(1.2) 发现,它有以下特点:共有3!=6 项;每一项均是位
于不同行、不同列的3 个元素的乘积;各项行下标全为123,而列下标分别为
123,231,312,132,213,321,前三项均为正号,后三项均为负号,这表明每一
项前的符号与列下标的排序有关。为了给出n 阶行列式的定义,下面给出全排列
及其逆序数的概念及性质。
1.1.3 全排列及其逆序数
定义1.1 由n 个不同数1; 2; … ; n 组成的有序数组称为一个n 阶排列。排
列1; 2; … ; (n ? 1); n 称为标准排列或自然排列。
例如1324,3241,4123 等都是4 阶排列,15324 是一个5 阶排列。对于两个n
阶排列,如果它们的排列次序一样,就称这两个n 阶排列相等,否则就称它们不相
等。易知,n 阶排列共有n! 个。
定义1.2 在一个排列中,如果一个较大的数排在了较小的数前面,就称这两
个数构成一个逆序。一个排列逆序的总数称为该排列的逆序数。
我们用(i1i2 … in) 表示排列i1i2 … in 的逆序数,例如(31542) = 5。计算排
列i1i2 … in 的逆序数方法如下:
设排列i1i2 … in 中k 前面比k 大的数码共有tk 个,则
(i1i2 … in) = t1 + t2 + … + tn =
n Xk=1
tk
例1.2 求5 阶排列31542 的逆序数。
解t1 = 1; t2 = 3; t3 = 0; t4 = 1; t5 = 0, 故(53412) =
5 Xk=1
tk = 5。
例1.3 求(n(n ? 1) … 21)。
解t1 = n ? 1; t2 = n ? 2; … ; tn?1 = 1; tn = 0,所以(n(n ? 1) … 21)
= n(n ? 1)
2
。
定义1.3 设i1i2 … in 是n 阶排列,如果(i1i2 … in) 是奇数,则称i1i2 … in
是奇排列;如果(i1i2 … in) 是偶数,则称i1i2 … in 是偶排列。
例如5 阶排列31542 就是奇排列,而对于排列n(n ? 1) … 21,当n = 4k 或
4k + 1 时是偶排列,当n = 4k + 2 或4k + 3 时是奇排列。
为了确定n 阶排列的中奇、偶排列的个数,我们引入对换的概念,并给出它的
性质。
定义1.4 把一个排列中某两个数字的位置互相调换,其余数字不变,这样一
个调换称为一个对换。
定理1.1 对换改变排列的奇偶性。
证先讨论相邻对换的情形。设排列
A
z￠}￠|￠{ij
B
z￠}￠|￠{,经过i; j 对换变成
A
z￠}￠|￠{ji
B
z￠}￠|￠{,
显然这样的对换不影响i; j 与其他数的次序关系,改变的仅是i; j 的次序。若在前
一式中i; j 构成逆序,则后一式的逆序数比前一式的逆序数少1;若在前一式中i; j
不构成逆序,则后一式的逆序数比前一式的逆序数多1,所以在此情况下,排列的
奇偶性改变。
再讨论一般情形。设排列为
C
z￠}￠|￠{ij1j2 … jsj
D
z￠}￠|￠{, 经过i; j 对换得到排列
C
z￠}￠|￠{jj1j2 … jsi
D
z￠}￠|￠{,则后一排列可由前一排列经过2s + 1 次相邻对换来实现,即
j 依次与js; js?1; … ; j1; i 对换,共s + 1 次,然后i 再依次与j1; j2; … ; js 对换,
共s 次。由于2s+1 是奇数,故由相邻对换改变排列的奇偶性得到,前后两排列的
奇偶性相反。
由此可得到以下结论:
推论1.1 当n > 1 时,在全体n 阶排列中,奇排列的个数与偶排列的个数
相等,各为
n!
2
。
证设奇排列共s 个,偶排列共t 个,把每一个奇排列都进行一次对换,则变
成s 个偶排列,从而s 6 t,同理t 6 s,故s = t = n!
2
。
推论1.2 任一个n 阶排列都可以经过一系列对换变成自然排列,并且所作
的对换的次数与这个排列有相同的奇偶性。
证首先将1 与**个数字对换,接下来将2 与第二个数字对换,一直下去,
就可以将一个排列对换成自然排列。由定理1.1 知:对换改变排列的奇偶性,如果
一个排列是奇排列,它对换成自然排列必经过奇数次对换,而偶排列对换成自然排
列必经过偶数次对换,因此结论成立。
1.1.4 n 阶行列式
通过对二阶、三阶行列式进行分析,找出它们的共同规律,然后根据这些规律
来定义n 阶行列式。
我们可以看出式(1.1) 可以写成
――
a11 a12
a21 a22 ――
=Xj1 j2
(?1)(j1 j2)a1j1 a2j2
其中,j1j2 是任意一个二阶排列。
式(1.2) 可以写成
――ˉˉˉ
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
――ˉˉˉ
= X j1 j2 j3
(?1)(j1 j2j3)a1j1 a2j2 a3j3
其中, j1j2j3 是任意一个三阶排列。
现在我们根据上述规律来定义n 阶行列式。
定义1.5 将n2 个数aij ; i; j = 1; 2; … ; n 排成n 行n 列,记为
――――ˉ
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
...
...
...
an1 an2 … ann
――――ˉ
(1.3)
称之为n 阶行列式,它表示所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积
a1j1 a2j2 … anjn (1.4)
的代数和,其中,j1j2 … jn 是1; 2; … ; n 的一个排列。当j1j2 … jn 是偶排列时,
式(1.4) 前面带正号;当j1j2 … jn 是奇排列时,式(1.4) 前面带负号。因此行列式
(1.3) 可以表示成
――――ˉ
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
...
...
...
an1 an2 … ann
――――ˉ
= X j1j2￠￠￠jn
(?1)(j1j2￠￠￠jn)a1j1 a2j2 … anjn (1.5)
其中, X j1j2￠￠￠jn
表示对所有n 阶排列求和。
注(1) 有时用D = jaij jn￡n
或D = det(aij)n￡n 表示n 阶行列式(1.3),数
aij 称为行列式D = jaij jn￡n
的第i 行第j 列元素。
(2) 当n = 1 时,D = ja11j = a11,不要与**值记号混淆。
(3) 当n = 2 或n = 3 时,这样定义的二阶、三阶行列式与对角线法则定义的
是一致的。
例1.4 形如
D =
――――ˉ
a11 0 … 0
a21 a22 … 0
...
...
. . .
...
a1n a2n … ann
――――ˉ
的行列式,称为n 阶下三角形行列式。证明:下三角形行列式D = a11a22 … ann。
证D 的项的一般形式为a1j1 a2j2 … anjn,由于在这个行列式的**行中,
除a11 外,其他元素都等于0,所以j1 6= 1 时,a1j1 = 0,因而只要考虑含a11
的项;第二行除去a21 及a22 外,其余元素都等于0,因此,只要考虑j2 = 1; 2
的项,但因j1 = 1 故j2 6= 1,所以j2 = 2,这样逐步递推,知道D 的展开式

前言
第1章 行列式
1.1 行列式的定义
1.1.1 二阶行列式
1.1.2 三阶行列式
1.1.3 全排列及其逆序数
1.1.4 n阶行列式
习题1.1
1.2 行列式的性质
习题1.2
1.3 行列式依行(列)展开
习题1.3
1.4 克莱姆法则
习题1.4
1.5 本章小结
1.5.1 基本要求
1.5.2 内容提要
第1章总习题
第2章 矩阵
2.1 矩阵及其运算
2.1.1 矩阵的定义
2.1.2 矩阵加法
2.1.3 矩阵数乘
2.1.4 矩阵乘法
2.1.5 矩阵转置
习题2.1
2.2 矩阵的行列式与逆
2.2.1 矩阵的行列式
2.2.2 矩阵的逆
习题2.2
2.3 矩阵的分块
2.3.1 分块矩阵的概念与运算
2.3.2 常用的分块形式及应用
习题2.3
2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩
2.4.1 矩阵的初等变换
2.4.2 初等矩阵
2.4.3 初等变换法求逆矩阵
2.4.4 矩阵的秩
习题2.4
2.5 Gauss消元法及线性方程组有解判别法
2.5.1 线性方程组的概念
2.5.2 Gauss消元法
2.5.3 线性方程组有解判别法
习题2.5
2.6 矩阵应用举例
习题2.6
2.7 本章小结
2.7.1 基本要求
2.7.2 内容提要
第2章总习题
第3章 空间解析几何与向量运算
3.1 向量及其线性运算
3.1.1 向量的概念
3.1.2 向量的加减法
3.1.3 向量与数的乘法
3.1.4 空间直角坐标系
3.1.5 向量的分解与向量的坐标
3.1.6 向量的投影、向量的模与方向角
习题3.1
3.2 向量的乘积
3.2.1 向量的数量积
3.2.2 向量的向量积
3.2.3 向量的混合积
习题3.2
3.3 平面
3.3.1 平面的点法式方程
3.3.2 平面的一般式方程
3.3.3 两平面间的位置关系
习题3.3
3.4 空间直线
3.4.1 直线的对称式方程与参数方程
3.4.2 直线的一般式方程
3.4.3 空间直线的位置关系
3.4.4 空间直线与平面的位置关系
3.4.5 平面束
3.4.6 综合题型
习题3.4
3.5 曲面与空间曲线
3.5.1 曲面及其方程
3.5.2 旋转曲面、柱面、锥面
3.5.3 二次曲面
3.5.4 空间曲线及其方程
3.5.5 空间曲线在坐标面上的投影
习题3.5
3.6 应用实例
3.7 本章小结
3.7.1 基本要求
3.7.2 内容提要
第3章总习题
第4章 n维向量
4.1 n维向量及其运算
4.1.1 n维向量的定义
4.1.2 n维向量的运算
习题4.1
4.2 向量组的线性相关性
4.2.1 线性组合
4.2.2 线性相关
4.2.3 线性相关的有关理论
习题4.2
4.3 向量组的秩
4.3.1 向量组的等价
4.3.2 极大线性无关组
4.3.3 向量组的秩
4.3.4 向量组的秩与矩阵的秩的关系
习题4.3
4.4 向量空间
4.4.1 向量空间及其子空间
4.4.2 向量空间的基与维数
4.4.3 过渡矩阵与坐标变换
习题4.4
4.5 本章小结
4.5.1 基本要求
4.5.2 内容提要
第4章总习题
第5章 线性方程组
5.1 齐次线性方程组
5.1.1 齐次线性方程组解的性质
5.1.2 齐次线性方程组的基础解系及解的结构
习题5.1
5.2 非齐次线性方程组
5.2.1 非齐次线性方程组解的性质
5.2.2 非次线性方程组解的结构
习题5.2
5.3 应用实例
习题5.3
5.4 本章小结
5.4.1 基本要求
5.4.2 内容提要
第5章总习题
第6章 矩阵相似对角化
6.1 特征值与特征向量
6.1.1 特征值与特征向量的定义
6.1.2 特征值与特征向量的性质
习题6.1
6.2 相似矩阵与矩阵的对角化
6.2.1 相似矩阵及其性质
6.2.2 矩阵可对角化的条件
习题6.2
6.3 向量空间的正交性
6.3.1 向量的内积、长度和夹角
6.3.2 Rn的标准正交基与施密特正交化方法
6.3.3 正交矩阵
习题6.3
6.4 实对称矩阵的对角化
习题6.4
6.5 应用举例
习题6.5
6.6 本章小结
6.6.1 基本要求
6.6.2 内容提要
第6章总习题
第7章 二次型
7.1 二次型及其标准形
7.1.1 二次型及其矩阵表示
7.1.2 矩阵的合同及其性质
习题7.1
7.2 二次型的标准形
7.2.1 二次型的标准形
7.2.2 二次型化为标准形的方法
习题7.2
7.3 二次型的规范形与正定
7.3.1 二次型的规范形
7.3.2 正定二次型
习题7.3
7.4 本章小结
7.4.1 基本要求
7.4.2 内容提要
7.4.3 主要方法
第7章总习题
第8章 MATLAB简述与应用
8.1 MATLAB软件的基础操作
8.2 线性代数基本问题的软件实现
8.2.1 矩阵的生成
8.2.2 矩阵的基本运算
8.2.3 向量组的线性相关性与线性方程组的通解
8.2.4 特征向量与二次型
8.2.5 几何向量与MATLAB作图
8.3 MATLAB的应用举例
8.3.1 **配方的实现
8.3.2 交通流量的分析
8.3.3 人口迁徙模型
参考答案
主要参考书目

赵礼峰、李雷、张爱华、王晓平、万彩���编著的《线性代数与解析几何》根据**教育部高等学校工科数学教学指导委员会拟定的线性代数课程教学基本要求和南京邮电大学对该课程的教学要求精心编写而成。本书共分8章,系统地介绍了线性代数与解析几何的基本理论与方法,内容包括行列式、矩阵、空间解析几何与向量运算、n维向量、线性方程组、矩阵相似对角化、二次型、MATLAB简述与应用。本书可作为高等学校理工科(非数学类专业)本科生线性代数课程的教材,也可作为经济、管理等相关专业本科生的线性代数课程教材(第3章不作要求)。