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书摘
为了预见数学的未来,正确的方法是研究它的历史和现状。
在某种意义上,这不正是我们数学家的专业程序吗?我们习惯于外插法
,这是一种从过去和现在推导未来的方法,因为我们充分地了解这相当于什
么,所以关于它给予我们的结果的有效范围,我们不会冒使我们自己受骗的
危险。
迄今我们已经有了不幸的预言家。他们轻率地重申,所有能够解答的问
题都已经被解决了,除了拾遗之外,没有留下什么事情。幸好,过去的情况
使我们消除了疑虑。人们往往以为,所有问题都被解决了,或者至少已列出
了一切容许的解的清单。可是,解这个词的意义扩大了,不可解的问题变得
*使大家感兴趣,未曾料到的其他问题呈现出来。对于希腊人来说,好解就
是只使用直尺和圆规的解;后来,它变成用求根法得到的解,接着它又变成
只利用代数函数和对数函数的解。这样一来,悲观主义者发现他们自己总是
被挫败,总是被迫退却,因此我现在认为不再有悲观主义者了。
所以,我的意图并不是反对他们,因为他们已经消亡了;我充分了解,
数学将继续发展,但是问题在于它如何发展,在什么方向发展?你将回答:
“在各个方向发展”,这部分为真;如果它完全为真,那可有点骇人听闻了
。我们的丰富资料不久便会成为拖累,资料的积累也会造成一堆费解的大杂
烩,犹如无知的人面对未知的真理那样莫名其妙。
历史学家、物理学家甚至都必须在事实中做出选择;科学家的头脑只能
顾及宇宙之一隅,永远也不能囊括整个宇宙;以致在18然界提供的不可胜数
的事实中,一些将被忽略,另一些则被保留下来。
不用说,在数学中正是这样;几何学家已不再能迅速地把握所有呈现在
他面前的杂乱的事实;更有甚者,因为正是他——我几乎要说他的任性——
创造这些事实。他把它的要素收集在一起构造全新的组合;一般说来,自然
并没有把预先准备好的组合给予他。
毫无疑义,有时会发生这种情况:数学家着手解决问题是为了满足物理
学的需要;物理学家或工程师请求他计算某些应用方面的数值。难道能够说
,我们几何学家应当**于听候命令,而不为我们自己的欢娱来培育科学,
只是力图使我们自己迁就我们恩主的需求吗?假如数学除了帮助那些研究自
然的人之外没有其他目标,那我们就只好听候命令了。这种看问题的方式合
理吗?这绝不合理;如果我们
……

引言
**编 科学和科学家
**章 事实的选择
第二章 数学的未来
第三章 数学创造
第四章 偶然性
……

昂利·彭加勒是一位“无比伦比的数学家、敏锐的物理学家和思想深刻的哲学家” 。彭加勒在函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、代数学、微分方程、非欧几何、渐近级数,概率论等数学分支都有开创性的贡献,当代数学的不少领域都溯源于他。
不仅如此,他对数学基础和数学哲学问题也兴味盎然,发表了许多富有启发性的见解。正如他在本书中所提到的:“逻辑斯谛还必须改造,不清楚的是,能够被拯救的有多少。不用再说,唯有康托尔主义和逻辑斯谛处于考虑之列,对于某些东西有用的真正的数学,可以按照它自身的原则继续发展,而不必为在它之外掀起的风暴伤脑筋,数学由于其平常所取得的成就而一步一步地前进着,这些成就是决定性的,从来也不会被抛弃。”