第1章 绪论
1.1 自然现象的数学模型
虽然科学家、应用数学家、工程师等考虑问题的观点、角度不同,但他们都是面对着自然现象或实际工程问题。在大多数情况下,他们都是用数学模型来定义、描述和分析一个自然现象或工程问题。
用物理量来描述一个自然现象或工程问题的状态,有些物理量的值是指定的、固定不变的,有些量是未知的、变化的。这些物理量叫做变量或参数。
完全描述一个问题的*小数目的一组变量,叫做独立变量。其他描述这个问题的变量依赖于这些独立变量,叫做因变量。在很多情况下,还会有些约束条件,它们是指定的,或从物理意义上施加的条件。
对一个问题,如果不考虑时间这一变量,其他的物理量统称为广义坐标。独立的广义坐标的*大数就是这一问题的自由度数。自由度就是在不违背约束条件情况下,能任意独立变化的广义坐标。
自然现象或工程问题是如此的复杂,以至我们很难甚至不可能一下子就能从整体上把握、分析一个问题,一种很自然的方法是把整个系统划分成若干单独的元件(单元、元素)。这些元件比较简单,对其进行分析较为容易,然后再把这些元件进行组合,恢复成(或近似恢复成)原来的系统。
很多情况下,用有限多个元件组合起来,就能得到一个问题的分析模型。这种问题叫做离散问题。如图1。1所示的平面桁架结构和电路问题。这是由有限个杆件(电阻)在若干个节点上连接起来的问题。各节点的位移(电压)就是该问题的独立的广义坐标(自由度),它们是有限多个离散的参数。求得各节点的位移(电压)后,就能进一步求出杆件(电阻)中的内力(电流)等。
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