《偏微分方程数值解法》根据教育部专业目录调整后的要求及计算数学的发展,在笔者修订版《微分方程数值解法》的基础上编写而成。全书包括六章,**、二章是变分形式和Galerkin有限元法,第三、四章和第五章是有限差分法和有限体积法,第六章是离散化方程的解法。《偏微分方程数值解法》是为信息与计算科学专业本科生编写的教材,但也可作为应用数学、力学及某些工程科学专业的教学用书。《偏微分方程数值解法》介绍的求解偏微分方程的数值方法是基本的,对于从事科学技术及工程计算的专业人员也有参考价值。

1980年,笔者与冯果忱合作为“计算数学及其应用软件”专业编写出版过教材:《微分方程数值解法》。1989年修改后出了第二版。1996年经笔者较大修改后又出了修订版(第三版)。据笔者所知,这是一本在同类书中使用较广的教材。自修订版问世以来,又过去八年了。在这期间,我国高等教育有了很大变化,专业目录作了很大调整,原计算数学专业更名为“信息与计算科学”专业,相应的课程设置及要求也变了。为此高校计算数学的一些同行建议由吉林大学编写这本教材:《偏微分方程数值解法》,并列入教育部教材建设十五规划,这是促使笔者编写本书的一个缘由。促使笔者编写本书的另一个也许更重要的因素是——考虑到过去十多年来计算数学有了很大发展,也有必要对原教材做一次修订。我们编写此书的出发点是,本着少而精和可接受性原则,力求选材基本,对本学科的发展有重要影响,并适度反映近年来的新成果。
基于上述考虑,我们在1996年修订版的基础上做了以下修改。**,删去原书**章常微分方程初值问题的数值解法,保留后六章关于有限元法和差分法的基本内容,并将书名改为《偏微分方程数值解法》。第二,增加近年兴起的有限体积法(即广义差分法)。应该指出,我们在原书的**版已**介绍过有限体积法,当时称为三角网格的差分格式,现在它已是求解偏微分方程,特别是流体力学方程的主力方法之一了。有限体积法是介于有限元法和有限差分法之间的方法,它既可从广义Galerkin法出发也可从积分插值法出发建立。为便于读者接受,我们从积分插值法出发,把它看成是差分法的推广,分别列入差分法的各章(第三至第五章)。第三,关于差分法,在第五章增加了拟线性双曲方程及(~-odtlnov格式、守恒型格式和单调格式,这有助于读者进一步学习激波计算的近代方法。在差分格式稳定性的代数准则部分(第四章),我们强调判别二阶增长矩阵稳定性的充要条件,因为该条件既通用又容易检验。第四,关于有限元法(第二章),删减了某些非基本内容,但加强了有限元法的误差估计。我们采用较为初等的带积分余项的Tayh)r展式得到一次元的*佳估计,这种证法可直接推广到高次元和高维区域的边值问题。第五,增加了有限元形式的多重网格法(第六章),并给出与网格步长无关的敛速估计。

**章 边值问题的变分形式
§1 二次函数的极值
§2 两点边值问题
2.1 弦的平衡
2.2 Sobolev空间Hm(I)
2.3 极小位能原理
2.4 虚功原理
§3 二阶椭圆边值问题
3.1 Sobolev空间Hm(G)
3.2 极小位能原理
3.3 自然边值条件
3.4 虚功原理
§4 Ritz-Galerkin方法

第二章 椭圆和抛物型方程的有限元法
§1 两点边值问题的有限元法
1.1 从Ritz法出发
1.2 从Galerkin法出发
§2 线性有限元法的误差估计
2.1 H1-估计
2.2 L2-估计 对偶论证法
§3 一维高次元
3.1 一次元(线性元)
3.2 二次元
3.3 三次元 
§4 二维矩形元
4.1 Lagrange型公式
4.2 Hermite型公式
§5 三角形元
5.1 面积坐标及有关公式
5.2 Lagrange型公式
5.3 Hermite型公式
*§6 曲边元和等参变换
§7 二阶椭圆方程的有限元法
7.1 有限元方程的形成
7.2 矩阵元素的计算
7.3 边值条件的处理
7.4 举例
*§8 收敛阶的估计
§9 抛物方程的有限元法

第三章 椭圆型方程的有限差分法
§1 差分逼近的基本概念
§2 两点边值问题的差分格式
2.1 直接差分化
2.2 积分插值法
2.3 边值条件的处理 
§3 二维椭圆边值问题的差分格式
3.1 五点差分格式 
3.2 边值条件的处理
3.3 极坐标形式的差分格式
§4 极值定理 敛速估计
4.1 差分方程 
4.2 极值定理
4.3 五点格式的敛速估计
*§5 先验估计
5.1 差分公式
5.2 若干不等式
5.3 先验估计
5.4 解的存在惟一性及敛速估计
§6 有限体积法
6.1 三角网的差分格式
6.2 有限体积法

第四章 抛物型方程的有限差分法
§1 *简差分格式
§2 稳定性与收敛性
2.1 稳定性概念
2.2 判别稳定性的直接估计法
2.3 收敛性和误差估计
§3 Fourier方法
§4 判别差分格式稳定性的代数准则
*§5 变系数抛物方程
§6 分数步长法
6.1 ADI法
6.2 预-校法
6.3 LOD法
§7 有限体积法

第五章 双曲型方程的有限差分法
§1 波动方程的差分逼近
1.1 波动方程及其特征
1.2 显格式
1.3 稳定性分析 
1.4 隐格式
1.5 强迫振动
§2 一阶双曲型方程组
2.1 双曲型方程组特征概念
2.2 Cauchy问题 依存域 影响域 决定域
2.3 其他定解问题
2.4 拟线性双曲方程组
*2.5 一维不定常流
§3 双曲方程差分格式的构造
3.1 迎风格式
3.2 Lax格式与Box格式
3.3 粘性差分格式 Lax-Wendroff格式 
*§4 Godunov格式 守恒型格式 单调格式
4.1 Godunov格式
4.2 守恒型格式
4.3 单调格式
*§5 有限体积法

第六章 离散化方程的解法
§1 基本迭代法
1.1 离散方程的基本特征
1.2 一般迭代法
1.3 超松弛法(SOR法)
1.4 预处理迭代法
§2 交替方向迭代法
2.1 二维交替方向迭代
2.2 三维交替方向迭代
§3 预处理共轭梯度法
3.1 共轭梯度法
3.2 预处理共轭梯度法
§4 多重网格法
4.1 二重网格法:差分形式
*4.2 二重网格法:有限元形式
4.3 多重网格法和套迭代技术
4.4 推广到多维问题
主要参考文献
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