《微分几何》共10章,第1章~第5章为**部分,系统讲述了三维欧氏空间中曲线、曲面的局部几何理论和曲面的内蕴几何学,这部分内容可作为数学专业本科生微分几何必修课教材;第6章~第10章为**部分,介绍有关曲面整体理论的一些基本结果,是整体微分几何一些经典问题选讲,它涉及数学的其它领域,可作为高年级本科生的专业课教材或课外阅读材料。

**部分 曲线与曲面的局部微分几何
**章 欧氏空间
§1.1向量空间
§1.2欧氏空间
第二章 曲线的局部理论
§2.1曲线的概念
§2.2平面曲线
§2.3E3的曲线
§2.4曲线论基本定理
第三章 曲面的局部理论
§3.1曲面的概念
§3.2曲面的**基本形式
§3.3曲面的第二基本形式
§3.4法曲率与weingarten变换
§3.5主曲率与GausS曲率
§3.6曲面的一些例子
第四章 标架与曲面论基本定理
§4.1活动标架
§4.2自然标架的运动方程
§4.3曲面的结构方程
§4.4曲面的存在惟一性定理
§4.5正交活动标架
§4.6曲面的结构方程(外微分法)
第五章 曲面的内蕴几何学
§5.1曲面的等距变换
§5.2曲面的协变微分
§5.3测地曲率与测地线
§5.4测地坐标系
§5.5Gauss—Bonnet公式
§5.6曲面的Laplace算子
§5.7Riemann度量

第二部分 整体微分几何选讲
第六章 平面曲线的整体性质
§6.1平面的闭曲线
§6.2平面的凸曲线
第七章 曲面的若干整体性质
§7.1曲面的整体描述
§7.2整体的Gauss—Bonnet公式
§7.3紧致曲面的Gauss映射
§7.4凸曲面
§7.5曲面的完备性
第八章 常Gauss曲率曲面
§8.1常正GauSS曲率曲面
§8.2常负Gauss曲率曲面与Sine-Gordon方程
§8.3IIilbert定理
§8.4Bgcklund变换
第九章 常平均曲率曲面
§9.1Hopf微分与Hopf定理
§9.2Alexsandrov惟一性定理
§9.3附录:常平均曲率环面
第十章 极小曲面
§10.1极小图
§10.2极小曲面的Weierstrass表示
§10.3极小曲面的Gauss映射
§10.4面积的变分与稳定极小曲面
索引
……

本书要讨论的内容是欧几里得微分几何学,即欧几里得空间中曲线和曲面的几何性质,并研究它们的内蕴几何性质。人们自然要问,什么是欧几里得几何?所谓的几何性质又是什么?读者也许从初等几何中对这些问题已有了大概的了解,但由于这些问题带有本质性,因此,仍有必要多说几句。
几何的观念*初来源于人们对自然空间的直观感受和经验。古希腊时期的几何学家欧几里得(约公元前330一前2757)首先给出了直观几何的条理化结构,他所编写的(《几何原本》对几何学原理作了系统的阐述,并开创了公理化的数学研究方法。长期、以来,关于欧几里得几何公理体系的完备性、无矛盾性引起了很多数学家的兴趣,特别是关于平行公理的研究更导致了非欧几何学的诞生,其中决定性的工作应归功于J。Bolyai(匈牙利)和N.I.Lobachevsky(俄国)。Hilbert在其名著《几何基础》中所规定的公理体系也许是*严密和*精练的。
欧几里得空间曲线和曲面几何的研究始于微积分在几何的应用,:Euler和Monge对微分几何的早期发展作出了重要的贡献。GaUSS关于曲面的理论,建立了基于曲面**基本形式的几何,并把欧几里得几何推广到曲面上“弯曲”的几何,使微分几何真正成为一个独立的学科。Riemann在1854年的有名演讲“UberdieHypothesen,welchederGeometrieZUGrundeliegen”,把Gauss的理论推广到高维的空间,Riemann几何就此诞生。Riemann的思想引起了许多工作来处理和发展他的新几何。经过Christofell、Beltrami以及随后的:Bianchi、Ricci和LeviCivita等人的努力,微分几何在19世纪末已成为蓬勃发展的学科。
与上述想法不同,F.Klein在1872年发表了后人称之为“爱尔朗根纲领
(ErlangenProgram)”的**演讲“*新几何研究的比较评论”。他的基本
思想是把几何看作某个变换群作用下的不变量。根据Klein的思想,有一个变
换群就有一个几何与之对应,欧几里得几何就是研究几何图形在欧几里得变换
群下不变的性质和量。