本书要讨论的内容是欧几里得微分几何学,即欧几里得空间中曲线和曲面的几何性质,并研究它们的内蕴几何性质。人们自然要问,什么是欧几里得几何?所谓的几何性质又是什么?读者也许从初等几何中对这些问题已有了大概的了解,但由于这些问题带有本质性,因此,仍有必要多说几句。
几何的观念*初来源于人们对自然空间的直观感受和经验。古希腊时期的几何学家欧几里得(约公元前330一前2757)首先给出了直观几何的条理化结构,他所编写的(《几何原本》对几何学原理作了系统的阐述,并开创了公理化的数学研究方法。长期、以来,关于欧几里得几何公理体系的完备性、无矛盾性引起了很多数学家的兴趣,特别是关于平行公理的研究更导致了非欧几何学的诞生,其中决定性的工作应归功于J。Bolyai(匈牙利)和N.I.Lobachevsky(俄国)。Hilbert在其名著《几何基础》中所规定的公理体系也许是*严密和*精练的。
欧几里得空间曲线和曲面几何的研究始于微积分在几何的应用,:Euler和Monge对微分几何的早期发展作出了重要的贡献。GaUSS关于曲面的理论,建立了基于曲面**基本形式的几何,并把欧几里得几何推广到曲面上“弯曲”的几何,使微分几何真正成为一个独立的学科。Riemann在1854年的有名演讲“UberdieHypothesen,welchederGeometrieZUGrundeliegen”,把Gauss的理论推广到高维的空间,Riemann几何就此诞生。Riemann的思想引起了许多工作来处理和发展他的新几何。经过Christofell、Beltrami以及随后的:Bianchi、Ricci和LeviCivita等人的努力,微分几何在19世纪末已成为蓬勃发展的学科。
与上述想法不同,F.Klein在1872年发表了后人称之为“爱尔朗根纲领
(ErlangenProgram)”的**演讲“*新几何研究的比较评论”。他的基本
思想是把几何看作某个变换群作用下的不变量。根据Klein的思想,有一个变
换群就有一个几何与之对应,欧几里得几何就是研究几何图形在欧几里得变换
群下不变的性质和量。