丛书序
前言
第1章 随机事件和概率
第2章 随机变量及其分布
第3章 二维随机变量及其分布
第4章 随机变量的数字特征
第5章 样本与抽样分布
第6章 参数估计
第7章 假设检验
第8章 一元线性回归分析简介
部分习题参考答案
参考文献
附录 常用统计分布表

丛书序
前言
第1章 随机事件和概率
第2章 随机变量及其分布
第3章 二维随机变量及其分布
第4章 随机变量的数字特征
第5章 样本与抽样分布
第6章 参数估计
第7章 假设检验
第8章 一元线性回归分析简介
部分习题参考答案
参考文献
附录 常用统计分布表

第1章 随机事件和概率 1.1 随机事件 1.1.1 随机现象和随机事件 在自然界与人类社会中普遍存在着两类现象:一类为确定性现象,即在一定条 件下必然会发生的现象.例如,在标准大气压下,100±C的纯净水必然沸腾;带异性 电荷的两个小球一定相互吸引.微积分、线性代数等学科就是研究确定性现象的有 力的数学工具.另一类现象为随机现象,即在一定的条件下,具有多种可能的结果, 但事先无法预知发生哪一种结果的现象.例如,在相同条件下抛掷同一枚硬币,其 结果可能是**朝上,也有可能是**朝下,并且在抛掷之前,无法预知抛掷结果, 这是随机现象表面上的偶然性,即随机现象的随机性,但经过多次抛掷时,就会发 现**面朝上的次数几乎总是占抛掷次数的 左右,这是随机现象内部蕴含着的 必然规律,这种随机现象的必然性,即为随机现象的统计规律性.概率论与数理统 计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科. 为了研究随机现象的统计规律性,需对客观事物进行多次观察或科学试验(观 察或科学试验统称为试验).如果这种试验满足以下三个条件: (1)在相同条件下可重复进行; (2)试验的可能结果不**,但其全部结果事先是已知的; (3)试验前不能确定哪一个结果发生. 则称其为随机试验,简称试验,记作E.随机试验的结果称为随机事件,简称事件, 记作A;B;C;…. 下面是随机试验和随机事件的几个例子: E1:掷一颗骰子,观察出现的点数; E2:记录电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数; E3:测试某种型号电子元件的寿命. 在上述试验中,用A1;A2;A3;A4表示下列事件: A1:出现点数为1; A2:出现奇数点; A3:单位时间内收到的呼唤次数为100次; A4:元件的寿命大于1000小时. 有些事件可以看成是一些事件组合而成的,如A2;A4,而有些事件则不能分解 成其他事件的组合,如A1;A3.我们将不能被分解成其他事件组合的简单事件称为 基本事件. 在一定条件下一定会发生的事件称为必然事件,记作-;在一定条件下一定不 会发生的事件称为不可能事件,记作?.例如,在试验E1中,“点数小于7"为必然 事件;“点数大于7"为不可能事件. 在一次试验中,所有基本事件的集合称为基本事件空间或样本空间,记作-, 其中的元素,即基本事件称为样本点,记作!.例如,在试验E1中,如用!i(i= 1;2;…;6)表示出现i点,则样本空间-=f!1;!2;!3;!4;!5;!6g,事件A2= f!1;!3;!5g.显然,A2是-的一个子集.实际上,任何一个事件都是其样本空间的 一个子集,因此某个事件发生当且仅当这个子集中的一个样本点出现. 例1.1写出试验E1;E2;E3所对应的样本空间,并用集合表示事件A1;A2; A3;A4. 解E1:-=f(1点),(2点),…,(6点)g, E2:-=f(0次),(1次),…g, E3:-=ft小时jt>0g, A1=f(1点)g, A2=f(1点),(3点),(5点)g, A3=f(100小时)g, A4=ft小时jt>1000g. 1.1.2随机事件间的关系及运算 概率论的重要研究内容之一是希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率, 因此详细地分析事件之间的关系,不仅帮助人们更深刻地认识事件的本质,而且可 以大大简化一些复杂事件的概率计算.由于事件是一个集合,所以事件之间的关系 和运算可以用集合的关系和运算来处理,但要注意事件关系和运算的特有含义. 设-为某试验E的样本空间,A;B;Ak(k=1;2;…)为随机事件. 1.事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B的发生,则称事件B包含事件A或称A是B的 子事件,记作A?B(图1.1.1).事件A包含于B,是指A中的元素含在B中,若 A发生,当且仅当事件A中有元素出现,该元素一定属于B,因此事件B也一定 发生. 若A?B且B?A,则称事件A与事件B相等,记作A=B,其直观意义是事 件A与事件B包含的样本点完全相同,即在一次试验中,两个事件同时发生或同 时不发生. 2.事件的并与交 事件A与事件B至少有一个发生,称为事件A与事件B的并或和,记作 A[B(图1.1.2). 类似地,事件A1;A2;…;An中至少有一个发生,称为n个事件的并,记作A1[ A2[…[An或 n[i=1 Ai;可列个事件A1;A2;…;An;…中至少有一个发生,称为可 列个事件的并,记作A1[A2[…[An…[…或 1[i=1 Ai. 事件A与事件B同时发生,称为事件A与事件B的交或积,记作A“B或 AB(图1.1.3). 类似地,n个事件A1;A2;…;An的积,记作A1“A2“…“An或 n“i=1 Ai;可列 个事件A1;A2;…;An;…的积,记作A1“A2“…“An…“…或 1“i=1 Ai. 3.事件的互不相容 若事件A与事件B不能同时发生,即AB=?,则称事件A与事件B是互不 相容的(或互斥的)(图1.1.4). 例如,基本事件是两两互不相容的. 4.事件的逆 对于事件A,由不包含在A中的所有样本点构成的集合称为事件A的逆(或 称为A的对立事件),记作A1(图1.1.5). 如果事件A与事件B是对立事件,那么A与B必然满足AB=?且A[B=-. 5.事件的差 事件A发生而事件B不发生,称为事件A与事件B的差,记作A?B(图 1.1.6),事件A?B是由属于事件A但不属于事件B的样本点构成. 注意:A?B=A1B=A?AB. 6.样本空间的划分 为了研究某些较为复杂的事件,常常需要把样本空间-按样本点的属性,划分 成若干个事件A1;A2;…;An,当它们满足: (1)AiAj=?(i6=j;i;j=1;2;…;n); (2)A1[A2[…[An=-; 则称这n个事件A1;A2;…;An构成样本空间-的一个划分. 显然,对于A?-,则A与A1构成-的一个划分. 7.事件的运算律 与集合的运算一样,事件间的基本运算(并、交、逆)满足下述运算律. (1)交换律:A[B=B[A;AB=BA; (2)结合律:(A[B)[C=A[(B[C);(AB)C=A(BC); (3)分配律:A[(BC)=(A[B)“(A[C);A(B[C)=AB[AC; (4)对偶律:A[B=1A1B;AB=A1[1B: 例1.2设A;B;C为三个事件,**A;B;C的运算关系表示下列各个事件. (1)A;B;C都发生; (2)A与B都发生而C不发生; (3)A;B;C至少有一个发生; (4)A;B;C恰好有一个发生; (5)A;B;C恰好有两个发生; (6)A;B;C至少有两个发生; (7)A;B;C中不多于两个发生. 解(1)ABC; (2)AB1C或AB?C; (3)A[B[C; (4)A1B1C[1A1BC[A1BC1; (5)AB1C[A1BC[A1BC; (6)AB[AC[BC或ABC[(AB1C[A1BC[A1BC); (7)ABC或1A1B1C[(A1B1C[A1BC1[1A1BC)[(AB1C[A1BC[A1BC). 例1.3化简下列各式: (1)(A[B)?(A?B); (2)(A?1B)(A[B). 解(1)(A[B)?(A?B)=(A[B)(A?B)=(A[B)A1B =(A[B)(A1[B)=AA1[AB[BA1[B=B; (2)(A?1B)(A[B)=(AB)(1A1B)=(A1A)(B1B)=?. 1.2 概率的定义及计算 在对随机现象进行研究时,我们不仅关心随机试验可能出现哪些结果,更关心 各种结果发生的可能性大小.概率就是对事件发生可能性大小的一种数值度量.本 节在给出概率定义的基础上,讨论一些简单的概率计算问题. 1.2.1 概率的统计定义 在长期的生产实践中,人们发现虽然个别随机事件在一次试验中可能出现也可 能不出现,但在大量重复试验中它的发生呈现出明显的规律性||频率稳定性. 定义1.1在相同条件下,进行n次试验.若在n次重复试验中,事件A发 生m次,则称 fn(A)=m n 为事件A在n次试验中发生的频率. 由定义1.1容易证明事件A的频率具有如下性质: (1)06fn(A)61; (2)fn(-)=1; (3)若事件A,B两两互斥,则fn(A[B)=fn(A)+fn(B).

本书依据教育部制定的"概率论与数理统计课程教育基本要求"编写而成,着眼于概率论与数理统计的基本概念、基本理论和方法,注重实用性。突出现代概率统计的思想,强调直观和易于学生接受。全书共分十章,内容包括:随机事件及其概率;随机变量及其分布;二维随机变量及其分布;随机变量的数字特征;大数定律和**极限定理;数理统计的基本概念;参数估计;假设检验;线性回归分析;概率统计在数学建摸中的应用。各章配有内容小结、习题和概率统计名人介绍,书后附有习题参考答案、近年考研试题和答案。