微积分:经管类(第二版)是根据教育部“经济管理类本科数学基础课程教学基本要求”,并结合编者长期在教学**线积累的丰富教学经验编写而成。全书共11章,内容包括:函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、多元函数微分学、二重积分、无穷级数、微分方程、差分方程。微积分:经管类(第二版)按节配置适量习题,每章配有总习题,书末附有习题参考答案及提示,便于读者参考。全书以经济类、管理类学生易于接受的方式,科学、系统地介绍了微分与积分的基本内容,**介绍了微积分的方法及其在经济、管理中的应用。
微积分:经管类(第二版)可作为高等学校经济类、管理类及文史类各专业本科生的微积分课程教材,也可作为硕士研究生考前学习用书。 微积分-(第二版)-(经管类)_隋如彬 主编_科学出版社_

第1章 函数
1.1 集合
1.2 函数
1.3 基本初等函数与初等函数
1.4 经济学中常用函数
总习题一
第2章 极限与连续
2.1 数列的极限
2.2 函数的极限
2.3 无穷小量与无穷大量
2.4 极限运算法则
2.5 极限存在准则 两个重要极限
2.6 无穷小量的比较
2.7 函数的连续性与间断点
2.8 闭区间上连续函数的性质
总习题二
第3章 导数与微分
3.1 导数的概念
3.2 函数的求导法则
3.3 高阶导数
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
3.5 函数的微分
3.6 导数在经济分析中的应用
总习题三
第4章 微分中值定理与导数的应用
4.1 微分中值定理
4.2 洛必达法则
4.3 泰勒公式
4.4 函数的单调性与极值
4.5 曲线的凹凸性与拐点
4.6 函数图形的描绘
4.7 函数的*值及其在经济分析中的应用
总习题四
第5章 不定积分
5.1 不定积分的概念与性质
5.2 换元积分法
5.3 分部积分法
5.4 有理函数和三角函数有理式的积分
总习题五
第6章 定积分及其应用
6.1 定积分的概念
6.2 定积分的性质
6.3 微积分学基本公式
6.4 定积分的换元法和分部积分法
6.5 反常积分与Γ函数
6.6 定积分的几何应用
6.7 定积分在经济学中的应用
总习题六
第7章 多元函数微分学
7.1 空间解析几何基本知识
7.2 多元函数的概念、极限和连续
7.3 偏导数
7.4 全微分
7.5 多元复合函数求导法则
7.6 隐函数的求导公式
7.7 多元函数的极值及其应用
7.8 边际分析、弹性分析与经济问题*优化
总习题七
第8章 二重积分
8.1 二重积分的概念与性质
8.2 二重积分的计算
总习题八
第9章 无穷级数
9.1 常数项级数的概念与性质
9.2 正项级数
9.3 任意项级数
9.4 幂级数
9.5 函数的幂级数展开
总习题九
第10章 微分方程
10.1 微分方程的基本概念
10.2 一阶微分方程
*10.3 可降阶的高阶微分方程
10.4 高阶线性微分方程及其通解结构
10.5 高阶常系数线性微分方程
10.6 微分方程在经济管理中的应用
总习题十
第11章 差分方程
11.1 差分方程的基本概念
11.2 一阶常系数线性差分方程
*11.3 二阶常系数线性差分方程
*11.4 差分方程在经济学中的应用
总习题十一
习题参考答案及提示

第1 章 函 数
初等数学基本上属于常量数学,而高等数学是关于变量的数学.客观世界中的
变量都不是孤立存在的,它们相互依存、相互作用、相互联系,研究变量之间这些关
系的工具之一就是函数,引进了函数这一工具,我们就可以借此研究事物和经济运
动规律及运动过程.正像恩格斯所言:“由于有了变量,才在数学中引进了运动与辩
证法.”本章将介绍函数的简单性态以及反函数、复合函数、基本初等函数和初等函
数等概念,这都是我们进一步学习的基础知识.
1.1 集 合
1.1.1 集合
1.集合的概念
集合是数学中*基本的概念之一.通常将具有某种特定性质的事物的总体称
为集合,组成这个集合的每一个事物称为该集合的元素.
习惯上常用大写拉丁字母A ,B ,C ,X ,Y ,… 表示集合,用小写拉丁字母a ,b ,c ,
x ,y ,… 表示集合中的元素.对于给定的集合A 和元素a ,二者的关系是确定的,要
么a 在集合A 中,记作a ∈ A ,读作a 属于A ;要么a 不在集合A 中,记作a 臭A ,读
作a 不属于A ,二者必居其一.
含有有限个元素的集合称为有限集;含有无穷多个元素的集合称为无限集;不
含任何元素的集合称为空集,用?表示.
表示集合的方法主要有两种:一是列举法,二是描述法.列举法,就是把集合中
的所有元素一一列举出来.如集合A 由a1 ,… ,an 所组成,则可以将其表示为A =
{ a1 ,… ,an } ;而描述法,则是强调指出具有某种性质P 的元素x 的全体所组成,通
常表示成
A = { x| x 具有性质P} ,
例如,集合A 是方程x2 - 3 x + 2 = 0 的解集,就可表示成A = { x| x2 - 3 x + 2 = 0} ,
再如,集合B 是不等式0 < 3 x - 2 ≤ 1 的解集,则可表示成B = { x|0 < 3 x - 2 ≤ 1} .
2.集合与集合间的关系
设A 、B 是两个集合,若对任意a ∈ A 痴a ∈ B ,则称A 是B 的子集,记作A 炒B
(读作A 含于B)或B 车A(读作B 包含A) ;若A 炒B 且B 炒A ,则称A 与B 相等,
记作A = B .规定?炒A ,其中A 为任何集合.
如果集合的元素都是数,则称其为数集.常用的数集有
(1) 自然数集(或非负整数集)记作N ,即
N = {0 ,1 ,2 ,… ,n ,… } ;
(2) 正整数集记作N+ ,即
N+ = {1 ,2 ,3 ,… ,n ,… } ;
(3) 整数集记作Z ,即
Z = { … ,- n ,… ,- 2 ,- 1 ,0 ,1 ,2 ,… ,n ,… } ;
(4) 有理数集记作Q = p
q | p ∈ Z ,q ∈ N+ 且p ,q 互质;
(5) 实数集记作R ;正实数集记作R+ .
1.1.2 集合的运算
1.集合的运算
集合间的基本运算有三种:并、交、差.
设有集合A 、B ,它们的并集记作A ∪ B ,
A ∪ B 扯{ x| x ∈ A 或x ∈ B} .
集合A 与B 的交集记作A ∩ B(或A B) ,
A ∩ B 扯{ x| x ∈ A 且x ∈ B} .
集合A 、B 的差集记作A\ B ,
A\ B 扯{ x| x ∈ A 且x 臭B} .
由上述定义可知,A ∪ B 是由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合;而
A ∩ B 是由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合;差集A\ B 是由所有属于A
而不属于B 的元素组成的集合.
通常我们将所研究的某一问题纳入到某个大集合Ω 中进行,所研究的其他集
合都是Ω 的子集,此时我们称Ω 为全集.而将Ω\ A 称为A 的补集或余集,用Ac 表
示,即记Ac = Ω\ A .如Ω = R 时,集合A = { x| - 1 < x ≤ 1} ,则Ac = { x| x ≤ - 1 或
x > 1} .
2.集合的运算规律
集合的运算满足如下运算规律:
设A 、B 、C 及A i ( i = 1 ,2 ,3 ,… )为Ω 中的集合,则
(1) A ∪ B = B ∪ A ,A ∩ B = B ∩ A ;
(2) ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C) ,( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C) ;
(3) A ∩ ( B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) ,A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) ;
(4) ( A ∪ B)c = Ac ∩ Bc ,( A ∩ B)c = Ac ∪ Bc ;
(5) ∪
∞
i = 1 Ai
c
= ∩
∞
i = 1 Aci
, ∩
∞
i = 1 Ai
c
= ∪
∞
i = 1 Aci
.
以上运算规律均可依据集合相等的定义加以证明,留给读者一试.
1.1.3 区间与邻域
区间是常用的一类数集,大体可以分为有限区间和无限区间.
1.有限区间
设a ,b 为实数,且a < b ,通常有如下定义与记法:
(1) 闭区间 [ a ,b] = { x| a ≤ x ≤ b} ;
(2) 开区间( a ,b) = { x| a < x < b} ;
(3) 半开区间[ a ,b) = { x| a ≤ x < b} ,
( a ,b] = { x| a < x ≤ b} .
以上区间称为有限区间,a 、b 称为区间端点,a 为左端点,b 为右端点,数b - a 称为
这些区间的长度.从几何上看,这些区间是数轴上长度有限的线段,可以用图1 -1
(a) 、(b) 、(c)和(d)在数轴上表示出来.
图1-1
2.无限区间
引进记号+ ∞ (读作正无穷大)及- ∞ (读作负无穷大) ,则可类似地给出无限
区间的定义和记法.
(1) [ a ,+ ∞ ) = { x| x ≥ a} ;
(2) ( a ,+ ∞ ) = { x| x > a} ;
(3) ( - ∞ ,b] = { x| x ≤ b} ;
(4) ( - ∞ ,b) = { x| x < b} ;
(5) ( - ∞ ,+ ∞ ) = R .
前四个无限区间同样可以在数轴上分别用图1 -2(a) 、(b) 、(c)和(d)表示,而
( - ∞ ,+ ∞ )就是整个实数轴.
图1-2
以后在不需要特别强调区间是开还是闭,以及是有限还是无限的情形下,我们
就简单地称之为区间,通常用字母I 表示.
3.邻域及去心邻域
邻域也是我们经常用到的概念.设a ,δ ∈ R ,其中δ > 0 ,称开区间( a - δ ,a + δ)
为点a 的δ 邻域,记为U( a ,δ) ,即
U( a ,δ) = ( a - δ ,a + δ) = { x| a - δ < x < a + δ}
= { x|| x - a| < δ} .
点a 称为邻域的**,δ 称为邻域的半径.U( a ,δ)可以在数轴上表示为图1 -3 .
图1-3
有时用到的数集需要把邻域的**去掉,邻域U( a ,δ)去掉**a 后,称为点
a 的去心δ 邻域,记作U( a ,δ) ,即
U( a ,δ) = ( a - δ ,a) ∪ ( a ,a + δ) = { x | 0 < | x - a | < δ} ,
是两个开区间的并集,见图1 -4 .
图1-4
为表达方便,有时把开区间( a - δ ,a)称为a 的左δ 邻域,把开区间( a ,a + δ)称
为a 的右δ 邻域.
有时在研究某一变化过程中,无需指明a 的某邻域(或去心邻域)的半径,此时
就简单地记为U( a)(或U( a)) ,读作a 的某邻域(或a 的某去心邻域) .
习 题 1.1
1.如果A = { x|5 < x < 7} ,B = { x| x > 6} .求:
(1) A ∪ B ; (2) A ∩ B ; (3) A\ B .
2.已知集合A = { a ,2 ,4 ,5} ,B = {1 ,3 ,4 ,b} .若A ∩ B = {1 ,4 ,5} ,求a 和b .
3.解下列不等式:
(1) x2 > 16 ; (2) 0 < | x - 4| ≤ 2 ;
(3) | x + 1| > 2 ; (4) | x + 1| < | x| .
4.用区间表示下列不等式的解:
(1) | x| ≥ 5 ; (2) |3 x - 2| < 1 ;
(3) | x - a| < ε ( a 为常数,ε> 0) ;
(4) |2 x + 1| > | x - 1| .
1.2 函 数
1.2.1 函数的概念
在研究自然现象、客观规律和经济现象、经济规律过程中,往往会遇到各种不同
的量,其中有的量在过程中始终不变,保持一定的数值,这种量叫做常量;还有一些量
在过程中是变化着的,可以取不同的数值,这种量叫做变量.通常用字母a ,b ,c 等表
示常量,用字母x ,y ,z 等表示变量.但变量没有孤立存在的,变量和变量之间往往都
相互作用、相互依赖和相互影响,而函数是描述变量之间相互依存关系的重要工具之
一.函数是微积分学中的基本概念,研究函数的局部性质、整体性质、函数的分解与合
成以及函数的变化规律构成了微积分的基本内容.下面我们给出函数的定义.
定义1-1 设在某变化过程中有两个变量x 和y ,变量x 在一个给定的数域D
中取值,如果对于D 中每个确定的变量x 的取值,变量y 按照一定的法则总有唯
一确定的数值与之对应,则称y 是x 的函数,记作
y = f( x) , x ∈ D ,
其中x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为定义域,记作Df ,即Df = D .
函数定义中,对每个取定的x0 ∈ D ,按照对应法则f ,总有**确定的值y 与
之对应,这个值称为函数y = f( x)在点x0 处的函数值,记作
f( x0 ) 或 y | x = x0 = f( x0 ) .
当x 取遍D 的各个数值时,对应的函数值全体组成的数域称为函数的值域,记作
Rf ,即
Rf = { y| y = f( x) ,x ∈ D} .
表示函数的记号除了常用f 外,还可用其他的英文字母或希腊字母,如“ g” 、
“ φ” 、“ F” 、“ G” 、“ Φ”等.相应地函数可以记作y = g( x) ,y = φ( x) ,y = F( x)等.有时
还直接用因变量的记号来表示函数,即把函数记作y = y( x) .但在研究同一问题
时,与该问题相关的几个不同函数,要用不同的记号加以区别.
由函数的定义可知,构成函数的基本要素有两个:一是对应法则,二是定义域.
而值域是由以上二者派生出来的,若两个函数的对应法则和定义域都相同,则我们
认为这两个函数相同,而不在意它们的自变量和因变量采用何字母表示.如y =
xsin 1
x ,x ∈ ( - ∞ ,0) ∪ (0 ,+ ∞ )和s = tsin 1t
,t ∈ ( - ∞ ,0) ∪ (0 ,+ ∞ ) ,这两个函
数是相同的.
函数定义域的确定,取决于两种不同的研究背景:一是有实际应用背景的函
数;二是抽象地用算式表达的函数.前者定义域的确定取决于变量的实际意义;而
后者定义域的确定是使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函
数的自然定义域.例如,函数y = π x2 ,若x 表示圆的半径,y 表示圆的面积,则定义
域的确定属于前者,此时Df = [0 ,+ ∞ ) ;若不考虑x 的实际意义,则其自然定义域
为Df = ( - ∞ ,+ ∞ ) .
在函数的定义中,我们用“**确定”来表明所讨论的函数都是单值函数.当D
中的某些x 值有多于一个y 值与之对应时,我们称之为多值函数.例如,变量x 和
y 之间的对应法则由方程x2
a2 + y2
b2 = 1 所给出.显然,对任意x ∈ ( - a ,a) ,对应着y
有两个值.所以方程确定了一个多值函数,我们往往根据问题的性质或研究的需
要,取其单值分支y = b
a a2 - x2 或y = - b
a a2 - x2 进行分析和讨论.本书只讨
论单值函数.
函数的表示方法主要有三种:表格法、图形法、解析法(公式法) .将解析法和图
形法相结合来研究函数,可以将抽象问题直观化,借助于几何方法研究函数的有关
图1-5
特性.相反,一些几何问题也可借助函数
来做理论研究.所谓函数y = f ( x)的图
形,指的是坐标平面上的点集
{( x ,y) | y = f( x) ,x ∈ D} .
一个函数的图形通常是平面内的一条曲
线(图1 -5) .图中的Rf 表示函数y = f( x)
的值域.
例1-1 求函数y = 16 - x2 +