宋卫东编著的《微分流形基础》分为五章,**章综述了阅读本书所必需的预备知识:点集拓扑学、张量代数、外代数等。第二章介绍了微分流形中*重要、*基本的概念,如光滑函数、切空间、切映射等,列举了大量的微分流形的例子。第三章讨论了流形上的张量场。第四章研究了外微分形式、外微分、外微分形式的积分及stokes定理。这些内容一方面是研究近代微分几何的基本工具,另一方面是研究流形整体性质的常用方法。第五章引进了流形上的仿射联络和流形上若干重要的微分算子,它们在许多分支学科中扮演重要的角色。各章末都附有问题与练习,其中有些是本书内容的补充和延伸。
微分流形基础_宋卫东 著_安徽师范大学出版社_

前言**章预备知识§1.1拓扑空间1.1.1拓扑空间的概念1.1.2拓扑基1.1.3连续映射和同胚1.1.4连通性1.1.**2空间1.1.6T2空间1.1.7紧致性§1.2向量值函数1.2.1向量值函数的概念1.2.2向量值函数的连续性1.2.3向量值函数的可微性1.2.4反函数定理1.2.5秩定理§1.3张量代数1.3.1向量空问及其对偶空间1.3.2张量的定义1.3.3张量积运算1.3.4对称和反对称协变张量§1.4外代数1.4.1外积1.4.2外代数1.4.3几个重要定理问题与练习第二章微分流形§2.1微分流形的定义和例子§2.2微分流形上的可微函数与可微映射2.2.1可微函数2.2.2流形问的可微映射2.2.3流形上的光滑曲线2.2.4流形间的光滑同胚§2.3切空间和余切空间2.3.1流形M在点p的切向量xP2.3.2流形M在点p的切空间TP(M)2.3.3流形M在点p的余切向量与余切空间§2.4切映射与余切映射2.4.1切映射2.4.2余切映射§2.5子流形2.5.1光滑映射的进一步讨论2.5.2子流形问题与练习第三章流形上的张量场§3.1流形上的切向量场3.1.1基本概念3.1.2Poisson括号积3.1.3光滑切向量场的积分曲线3.1.4F-相关性3.1.5单参数变换群§3.2流形上点p的(r,s)型张量3.2.1基本概念3.2.3协变张量的张量积3.2.3反称协变张量的外积及其性质§3.3流形上的张量场§3.4黎曼度量问题与练习第四章外微分形式的积分和Stokes定理§4.1外微分形式4.1.1s阶外微分形式4.1.2外微分形式的外积4.1.3外微分形式间的拉回映射4.1.4Cartan定理§4.2外微分算子d§4.3外微分形式的积分Stokes定理4.3.1流形的定向4.3.2带边流形和它的定向4.3.3流形上的m阶外微分形式∞的积分与Stokes定理问题与练习第五章仿射联络空间§5.1仿射联络5.1.1仿射联络的定义及局部表示5.1.2仿射联络的存在性定理5.1.3仿射联络的挠率和曲率5.1.4仿射联络的结构方程§5.2仿射联络空间上张量场沿切向量场的共变导数5.2.1切向量场Y沿切向量场X的共变导数5.2.2余切向量场ω沿X方向的共变导数□xω5.2.3(r,s)型张量场T沿切向量场x的共变导数□xT§5.3仿射联络空间上张量场T的共变微分□r§5.4Riemann流形上的Laplace算子5.4.1Riemann度量诱导仿射联络5.4.2□f的定义及局部表示5.4.3散度、梯度和Laplace算子的性质5.4.4Hopf引理问题与练习