本书是教育科学“十五”**规划课题研究成果,是依据工科数学《复变函数与积分变换教学大纲》,结合本学科的发展趋势,在教学实践的基础上编写而成的。在编写的过程中始终遵循着:为专业课打好基础,培养学生的数学素质,提高其应用数学知识解决实际问题的能力的原则。在具体内容编写上力求做到:分析客观事物——建立概念——发展理论——应用理论解决实际问题。强调将基础知识的学习,数学思想、方法的学习、能力的培养孕育其中。强调理论的应用性及与计算机的结合。本书具有体系严谨,逻辑性强,内容组织由浅入深,理论联系实际,适应新形势要求,讲授方式灵活等特点。
本书的内容为**篇、第二篇、数学实验三部分,**篇为复变函数,共七章,主要内容是:复数和复变函数,导数,积分,级数,留数,保形映照及解析函数的应用。第二篇为积分变换,共二章,主要内容是:傅里叶变换,拉普拉斯变换。数学实验的主要内容为数学软件的应用和积分变换的部分程序。
本教材建议学时约60(不含“*”内容)。
本书可作为高等院校有关专业本科教材,也可供科技、工程技术人员阅读参考。

**篇 复变函数
第1章 复数与复变函数
1.1 复数
1.1.1 复数及其代数运算
1.1.2 复数的几何表示
1.1.3 复数四则运算的几何意义
1.1.4 扩充复平面
1.2 复数的乘幂与方根
1.2.1 复数的乘幂
1.2.2 复数的方根
1.3 平面点集
1.3.1 区域
1.3.2 曲线
1.3.3 单连通域和多连通域
1.4 复变函数
1.4.1 复变函数的概念
1.4.2 复变函数的几何意义--映照
1.4.3 反函数与复合函数
1.5 初等函数
1.5.1 指数函数
1.5.2 对数函数
1.5.3 幂函数
1.5.4 三角函数与反三角函数
1.5.5 双曲函数与反双曲函数
第1章 习题
第2章 导数
2.1 复变函数的极限
2.1.1 复变函数极限的概念
2.1.2 复变函数极限定理
2.2 复变函数的连续性
2.2.1 复变函数连续的概念
2.2.2 复变函数连续的定理
2.3 导数
2.3.1 导数的概念
2.3.2 导数的运算法则
2.3.3 函数可导的充分必要条件
2.3.4 高阶导数
2.4 解析函数
2.4.1 解析函数的概念
2.4.2 初等函数的解析性
2.4.3 函数解析的充要条件
2.5 调和函数
2.5.1 调和函数的概念
2.5.2 已知实部或虚部的解析函数的表达式
第2章 习题
第3章 积分
3.1 复变函数积分的概念.性质.计算
3.1.1 不定积分
3.1.2 定积分
3.1.3 积分值的计算
3.2 柯西定理及其推广
3.3 柯西积分公式
3.4 解析函数的导数
第3章 习题
第4章 级数
4.1 收敛序列与收敛级数
4.1.1 收敛序列
4.1.2 收敛数项级数
4.1.3 函数项级数
4.2 幂级数
第5章 留数
第6章保形映照
第7章解析函数对平面向量场的应用
第二篇 积分变换
第1章 傅里叶变换
第2章 拉普拉斯变换
数学实验
附录A 区域变换表
附录B 傅氏变换简表
附录C 拉氏变换简表
习题答案
参考书目

**篇 复变函数
复数是十六世纪人们在解代数方程时引入的,在十七和十八世纪,随着微积分的发明与发展,人们研究了复变数函数(简称复变函数),得到了一些重要结果。
因为复数*初是单纯地从形式上推广而引进的,并且在十八世纪以前,由于人们对复数的有关概念了解得不够清楚,用它们进行计算得到了一些矛盾,所以复数在历史上长期不能为人们所接受,“虚数”这一名词本身恰好反映了这一点。
可是复数并不神秘,它可与有序实数对或平面向量一一对应,在某些情况下用复数表示的向量计算起来更方便。十八世纪,J.达朗贝尔(1717-1783)与L。欧拉(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义,澄清了复数的概念,并应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。直到这时,人们才接受了复数。
复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的。A.L.柯西(1789-1857),K.外尔斯特拉斯(1815-1897)和G.F.B黎曼(1826-1866)是这一时期的三位代表人物。柯西和外尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数,黎曼研究复变函数的映照性质。
本世纪,复变函数论成为数学的重要分支之一,随着它的应用领域不断扩大而发展成一门庞大的学科。这门学科不但研究本身在发展中提出的问题,而且对于自然科学其它部门(如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等)以及数学中其他分支(如微分方程、积分方程、概率论、数论等)复变函数论都有重要的应用。
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