本书是上海市精品课程“离散数学”的教材。内容主要分为如下几个部分:第1部分,数理逻辑基础;第2部分,集合论基础;第3部分,代数系统基础;第4部分,图论基础。数理逻辑基础部分主要讲述命题逻辑、谓词逻辑的基础理论和它们在推理理论中的简单应用;集论基础部分主要讲述集合与关系、映射、函数与集合的基数等基本内容;代数系统基础部分主要讲述二元运算的主要性质及代数系统中若干重要的元素,并介绍广群、半群、含幺半群、群及环和域,以及格与Boole代数的基础知识;图论基础部分主要讲述图和树的基础知识及其简单应用。每章后附有一定数量的习题,其中有一些是历年研究生考试的试题,可供读者学习时选做。建议读者能独立完成这些习题中的大部分,这对掌握这门课程的主要内容是至关重要的。本书的电子教案和习题的详细解答将免费提供给任课教师使用(索取邮箱:wbj@mail.machineinfo.gov.cn)。
本书可供计算机专业、应用数学专业以及其他相关专业的本科生作教材使用,也可供有关专业的教师和学生用作教学或者学习参考书,并适合对本书内容感兴趣的数学爱好者自学使用。

前言
第1部分 数理逻辑基础
第1章 命题逻辑初步
1.1 命题及其表示
1.2 命题联结词
1.3 命题演算的合式公式、命题公式的真值表以及命题公式的翻译
1.4 重言式和矛盾式、等价的命题公式、命题公式的逻辑蕴含式
1.5 其他联结词
1.6 对偶式与范式
1.7 命题演算的推理理论
习题
第2章 谓词逻辑初步
2.1 谓词的基本概念
2.2 量词的基本概念
2.3 命题函数与谓词演算的合式公式
2.4 约束变量与自由变量、n元谓词的一般定义、谓词演算的等价式
2.5 谓词演算的蕴含式、量词与否定联结词之间的性质
2.6 量词的性质(续)
2.7 谓词公式的前束范式
2.8 谓词演算的推理理论
习题
第2部分 集合论基础
第3章 集合与关系
3.1 集合的基本概念
3.2 子集和幂集
3.3 集合的运算
3.4 抽屉原理和容斥原理
3.5 笛卡儿积
3.6 关系及其表示
3.7 关系的性质
3.8 关系的运算、复合关系和逆关系
3.9 关系的闭包
3.10 集合的覆盖与分划
3.11 等价关系
3.12 *相容关系
3.13 序关系
习题
第4章 函数
4.1 函数的基本概念
4.2 复合函数与反函数
4.3 集合的基数
4.4 可列集与不可列集
4.5 连续统的势
4.6 势的比较
习题
第3部分 代数系统基础
第5章 代数系统基础知识
5.1 代数运算及其性质
5.2 几个重要的代数系统——广群、半群、独异点
5.3 群的概念和例子
5.4 Abel群和循环群
5.5 群的简单性质、同态和同构
5.6 群的陪集分解、Lagrange定理
5.7 变换群和对称群
5.8 环与域的基本概念
5.9 环的同态和同构
习题
第6章 格与Boole代数
6.1 格的定义与基本性质
6.2 分配格与Dedekind格
6.3 有补格
6.4 Boole格与Boole代数
6.5 Boole表达式
习题
第4部分 图论基础
第7章 图论
7.1 图论中的基本概念
7.2 通路与回路,补图和子图
7.3 图的连通性
7.4 图的矩阵表示
7.5 Euler图
7.6 Hamilton图
7.7 平面图
7.8 连通平面图的着色
7.9 无向树和带权无向图
7.10 根树
7.11 根树的应用举例
习题
参考文献

第1部分 数理逻辑基础
第1章 命题逻辑初步
1.1 命题及其表示
在日常生活中,人们使用的是人类的自然语言。由于自然地域、文化渊源以及历史发展的进程不尽相同,身处世界各地的不同种族、不同自然环境的人产生了丰富多彩、风格迥异的自然语言、文明历史及文化传统。但是,无论哪一种自然语言都有某些基本共同的功能,例如,使用自然语言的人都要面临如何用自己的语言来清楚明白地表达自己的意见、分析、判断以及推理问题。然而,虽然人类的自然语言内涵极其复杂、丰富,但往往不够**、严谨,甚至常产生多义和歧义现象,使得仅用自然语言无法很好地完成数学中所需要的严格的分析、判断及推理工作。因此,为了适应数学科学以及其他科学分支发展的需要,数学家们从人的自然语言中发展出了一套严格的形式逻辑语言及相应的数学符号。本书第1章将向读者简要介绍命题逻辑的基础知识。
命题逻辑这一部分涉及的是命题、真值以及联结词等一系列*为基本的概念,它们是后面所要讲述的命题演算的推理理论的基础。
[定义1-1](命题和真值)本章中研究的基本对象是命题。命题满足以下两个条件:首先它必须是一个陈述句,此外该陈述句的结论必须要么为真,要么为假。这里的“真”或“假”称为该命题的真值。本书中所研究的真值只有“真”和“假”两个值。为了书写简单起见,也常用英文字母“了、”和“F”或者数字“1”和“0”来分别表示“真”和“假”。
[注]
①在模糊数学里的模糊逻辑系统中,每个命题不必一定取真值“真”,也不必一定取真值“假”,而有可能是以0~1之间的某个程度取到真值“真”或者真值“假”。
②在某些数学软件(如Mathematica)中,为了使用方便,在软件的一般逻辑系统及其运算中除了“真”和“假”这两个真值外,还给出了第三个真值“非真非假”。如果该软件在对某个逻辑命题经过判断给出“非真非假”的真值,就表明软件无法判断该命题的真值。
……

本书主要分为4个部分:数理逻辑基础部分主要讲述命题逻辑、谓词逻辑的基础理论和它们在推理理论中的简单应用;集论基础部分主要讲述集合与关系、映射、函数与集合的基数等基本内容;代数系统基础部分主要讲述二元运算的主要性质及代数系统中若干重要的元素,并介绍广群、半群、含幺半群、群及环和域,以及格与Boole代数的基础知识;图论基础部分主要讲述图和树的基础知识及其简单应用。每章后附有一定数量的习题,其中有一些是历年研究生考试的试题,可供读者学习时选做。末尾另有附录,以供青年教师和感兴趣的学者选读。