《实变函数论》第二版是作者在**版的基础上上经过多年教学实践,吸收了国内高等院校使用《实变函数论》的教师提出的很多宝贵意见,并参照理科数学、力学编审委员会函数论,泛函分析编审组1990年11月制订的《实变函数论》教材编写大纲修订而成。 《实变函数论》要作为综合大学、理工大学、师范院校的基础数学、计算数学以及应用数学等专业的教材,也可作为自学用书。

**章 集合及其基数
§l集合及其运算
§2集合的基数
§3可数集合
§4不可数无穷集

第二章 n维空间中的点集
§l聚点、内点、边界点、Bolzano-weierass定理
§2开集、闭集与完备集
§3p进位表数法
§4一维开集、闭集、完备集的构造
§5点集间的距离

第三章 测度理论
§1外测度
§2可测集合
§3开集的可测性
§4乘积空间
§5集合环上的测度的扩张

第四章 可测函数
§1可测函数的定义及其简单性质
§2Egoroff定理
§3可测函数的结构Lusin定理
§4依测度收敛

第五章 积分理论
§1非负函数的积分
§2可积函数
§3Fubini定理
§4微分与不定积分
§5一般测度空间上的Lebesgue积分

第六章 函数空间L
§1空间L
§2lilbert空间L
§3Zoln引理L中基底的存在性

第七章 FoHrier级数与FoHrier变换
§lFourier级数的收敛判别
§2Fourier级数的C一L求和
§3LFourier变换
§4L(R)上的Fourier变换
参考书目与文献
索引
……

随着微积分学的日益发展,人们在具体运算中愈来愈感到Ri-emann积分(以下简称旧积分)表现出严重的缺陷。正如大家所熟知的,要想逐项积分,或者变换两个无穷积分的次序,往往要加上一些很强的条件,但在许多问题中,这些条件是不具备的,或者虽然具备,但是验证起来麻烦,使得我们不能灵活地进行运算,所以我们确实有必要来对旧积分进行改革。
应该郑重指出,要摆脱限制,力求更灵活的运算,从来就是数学上的大问题。而这也往往正是物理学家对数学不满意之点。例如在近代物理学上越来越显得重要的广义函数论,其所以被重视的原因之一,就在于它解决了一批极限交换次序的问题。再如我们设想没有Fubini定理④,那么,有着广泛应用的积分变换理论简直就很难发展了。
是否可以这样说,近代分析学,由于实际问题的需要,常常要针对某些特殊的要求,来扩大旧的概念以包括新的对象,例如实数理论,广义函数论等;来引进新的极限手续,例如弱极限③,以及泛函分析学上针对着各种微分方程问题而引进的许多抽象空间④;使得我们能更好地描述物质世界,更灵活地进行运算。倘若如此,那么,本课程的主要内容--测度论和积分论就正是这方面的典型。