本书是同济大学计算数学教研室几位老师集体智慧的结晶,内容涉及数值计算的基本内容,如函数插值与函数逼近、线性与非线性方程(组)的求解、数值积分与微分、矩阵的特征值与特征向量的计算、微分方程的近似数值解,还阐述了当今科学与工程研究中遇到的数值计算问题求解的新方法,如快速傅里叶变换、多重积分的蒙特卡罗方法、数值求导的稳定算法、大型线性方程组的分块迭代算法等;在介绍一些重要的典型算法时,附上了在工程中广泛使用的Matlab程序。书后附有丰富的习题。并提供了配套的习题解答
本书适合作为高等院校本科生和工科研究生“数值计算”课程的教材,也适合相关科研人员参考。

第1章 科学计算与Matlab
1.1 科学计算的意义
1.2 误差基础知识
1.2.1 误差的来源
1.2.2 误差度量
1.2.3 有效数字
1.2.4 计算机的浮点数系
1.2.5 一个实例
1.2.6 数值计算中应注意的几个问题
1.3 Matlab软件
1.3.1 简介
1.3.2 向量和矩阵的基本运算
1.3.3 流程控制
1.3.4 脚本文件和函数文件
1.3.5 帮助系统
1.3.6 画图功能
1.3.7 数据操作
习题一
数值实验一
第2章 线性方程组的直接解法
2.1 高斯消去法
2.2 矩阵的三角分解
2.2.1 LU分解和LDU分解
2.2.2 乔列斯基分解
2.2.3 追赶法
2.2.4 分块三角分解
2.3 QR分解和奇异值分解
2.3.1 正交矩阵
2.3.2 QR分解
2.3.3 奇异值分解
习题二
数值实验二
第3章 多项式插值与样条插值
3.1 多项式插值
3.1.1 多项式插值问题的定义
3.1.2 插值多项式的存在**性
3.1.3 插值基函数
3.2 拉格朗日插值
3.2.1 拉格朗日插值基函数
3.2.2 拉格朗日插值多项式
2.3 插值余项
3.3 牛顿插值
3.3.1 差商
3.3.2 牛顿插值公式及其余项
3.3.3 差分与等距节点的插值公式
3.4 埃尔米特插值
3.4.1 两点三次埃尔米特插值
3.4.2 埃尔米特插值多项式的余项
3.4.3 n+1个点2n+1次埃尔米特插值多项式H2n+1(x)及其余项R2n+1(x)
3.5 三次样条插值
3.5.1 样条插值概念的产生
3.5.2 三次样条函数
习题三一
数值实验三一
第4章 函数逼近一
4.1 内积与正交多项式
4.1.1 权函数和内积
4.1.2 正交函数系
4.1.3 勒让德多项式
4.1.4 切比雪夫多项式
4.1.5 其他正交多项式
4.2 *佳一致逼近与切比雪夫展开
4.2.1 *佳一致逼近多项式
4.2.2 线性*佳逼近多项式的求法
4.2.3 切比雪夫展开与近似*佳逼近多项式
4.3 *佳平方逼近
4.3.1 预备知识
4.3.2 *佳平方逼近
4.4 曲线拟合的*小二乘法
4.4.1 *小二乘法
4.4.2 利用正交多项式作*小二乘
……
第5章 数值积分与数值微分
第6章 线性方程组的迭代解法
第7章 非线性方程求根
第8章 矩阵特征值与特征向量的计算
第9章 常微分方程初边值问题数值解
参考文献
索引

第1章 科学计算与Matlab
1.1 科学计算的意义
数值计算是随着计算机的出现和大规模计算的需求而发展起来的一门新兴学科。数值计算主要考虑各种数学模型及其算法,这些数学模型是为了解决各类应用领域,特别是科学与工程计算领域的实际问题而提出的。为此,数值计算有时也称为科学计算、工程计算或科学工程计算。随着科学技术的发展,计算机的性能和算法的效率,即计算机的硬件和软件水平,都有了飞速的提高,需要求解的实际问题规模也成倍扩大,其中的数学模型日趋复杂。通常,这些数学模型是不能够**地求解的,这时需要简化模型并且提出相应的数值解法,然后在计算机上编程实现,求解这些问题并作实际检验。随着硬件性能的提高和软件上各种**算法的出现,人类的计算能力迅猛提高,并同时期待能解决一些超大规模的具有挑战性的问题,如基因测序、全球天气模拟等。对于同一个问题,不同的算法在计算性能上可能相差百万倍甚至更多,科学计算的主要任务就是设计**可靠的数值算法。例如:用一个每秒钟计算一亿次浮点运算的计算机求解一个20阶的线性代数方程组,用克拉默(Cramer)法和行列式展开法计算至少需要30万年,而用高斯消去法只不过用几秒钟而已。这个事实说明了两个问题:一方面,计算方法效率的提高速度往往比计算机性能的提高更快;另一方面,选择**率的计算方法无疑是极其重要的。
……