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本书系统介绍计算几何的理论与方法.内容包括计算几何的数学基础、

曲线曲面的基本理论、Bézier曲线曲面、B样条曲线曲面、有理Bézier曲线

曲面与NURBS方法、细分方法以及径向基函数等。

本书可作为高等院校信息与计算科学专业的本科生教材,也可作为计算

数学学科硕土生、博士生相关课程的教材或参考书。本书还可供从事计算机

辅助几何设计、计算机图形学、图像处理及相关领域的科学技术工作者参考

。

第1章 计算几何的数学基础

1.1 Weierstrass定理

1.2 一致逼近

1.2.1 Borel存在定理

1.2.2 *佳逼近定理

1.2.3 Tchebysherv多项式及其应用

1.3 平方逼近

1.3.1 *小二乘法

1.3.2 空间L2ρ(χ)

1.3.3 正交函数系与广义Fourier级数

1.4 多项式插值法

1.4.1 Lagrange插值公式

1.4.2 Newton插值公式

1.4.3 插值余项

1.4.4 Hermite插值公式

1.4.5 多元多项式插值简介

1.5 一元样条

1.5.1 3次样条函数插值

1.5.2 样条函数及其性质

1.6 多元样条简介

1.6.1 多元样条空间的基本定理

1.6.2 多元样条空间的维数

1.6.3 多元B样条与拟插值算子

习题 1

第2章 曲线曲面的基本理论

2.1 向量及向量函数

2.2 曲线曲面的表示方法

2.2.1 曲线面的参数表示

2.2.2 曲线曲面的代数表示

2.3 曲线的参数表示

2.3.1 弧长参数化

2.3.2 Frenet标架和Frenet-Serret方程

2.3.3 曲线的拼接

2.4 曲面的参数表示

2.4.1 曲面上的曲线

2.4.2 曲面的曲率

2.4.3 曲面的拼接

2.4.4 直纹面与可展曲面

习题 2

第3章 Bézier曲线曲面

3.1 Bernstein基函数及其性质

3.2 Bézier曲线

3.2.1 Bézier曲线的定义和性质

3.2.2 Bézier曲线的de Casteljau算法和几何作图法

3.2.3 分段光滑的Bézier曲线

3.3 矩形域上的张量积型Bézier曲面

3.3.1 张量积型的Bernstein基函数

3.3.2 张量积型Bézier曲面

3.4 三角形上的Bézier曲面

3.4.1 面积坐标与三角形上的Bernstein基函数

3.4.2 三角域上Bézier曲面

3.5 开花(blossoms)方法简介

3.5.1 一元多项式的开花

3.5.2 Bézier曲线开花的应用

3.5.3 矩形域上张量积型Bézier曲面的开花

3.5.4 三角形上Bézier曲面的开花

习题 3

第4章 B样条曲线曲面

4.1 一元B样条基函数

4.2 一元B样条基函数的其他定义

4.2.1 B样条的差商定义

4.2.2 B样条的差分定义

4.2.3 B样条的光滑余因子方法

4.3 B样条曲线

4.3.1 B样条曲线的定义及基本性质

4.3.2 B样条曲线的几何作图法

4.3.3 B样条曲线的节点插入算法

4.4 常用的低次B样条曲线

4.4.1 0次B样条曲线

4.4.2 1次B样条曲线

4.4.3 2次B样条曲线

4.4.4 3次B样条曲线

4.5 B样条曲面

4.5.1 张量积型的二元B样条基函数

4.5.2 张量积型B样条曲面

4.5.3 双1次B样条曲面

4.5.4 双2次B样条曲面

习题 4

第5章 有理Bézier曲线曲面与NURBS方法

5.1 有理Bézier曲线

5.1.1 有理Bézier曲线的定义

5.1.2 齐次坐标表示

5.1.3 有理Bézier曲线的性质

5.1.4 权因子的几何意义

5.2 有理Bézier曲面

5.3 NURBS方法

5.4 NURBS曲线

5.4.1 NURBS曲线的定义和基本性质

5.4.2 常用的低次NURBS曲线

5.5 矩形域上的张量积型NURBS曲面

5.6 非张量积型的NURBS曲面

5.6.1 2-型三角剖分上的二元样条空间

5.6.2 二元1次B样条基函数与二元1次NURBS曲面

5.6.3 二元2次B样条基函数与二元2次NURBS曲面

5.6.4 二元3次B样条基函数与二元3次NURBS曲面

5.6.5 二元4次B样条基函数与二元4次NURBS曲面

5.6.6 不规则参数域上的2次NURBS曲面

习题 5

第6章 细分方法

6.1 细分方法的分类与特点

6.1.1 细分方法的分类

6.1.2 细分方法的特点

6.2 细分曲线方法

6.2.1 细分曲线的切割磨光法

6.2.2 细分曲线切割磨光法的性质

6.2.3 其他细分曲线方法

6.3 细分曲面方法

6.3.1 细分曲面的切割磨光法

6.3.2 细分曲面切割磨光法的性质

6.3.3 任意拓扑网格的切割磨光法

6.4 典型细分曲面方法

6.4.1 Doo-Sabin细分曲面

6.4.2 Catmull-Clark细分曲面

6.4.3 LooP细分曲面

6.4.4 改进的Butterfly细分曲面

6.4.5 3的根号细分曲面

习题 6

第7章 径向基函数

7.1 径向基函数

7.2 Multi-Quadric方法

7.2.1 Multi-Quadric函数插值

7.2.2 Multi-Quadric函数拟插值

7.3 径向基函数插值的收敛性

7.3.1 网格上径向基函数拟插值的收敛性

7.3.2 散乱数据径向基函数插值的收敛性

习题7

参考文献