《数值计算方法》系统地介绍了现代科学与工程计算中常用的数值计算理论、方法及有关应用,内容包括误差分析、线性方程组的直接解法与迭代解法、非线性方程的数值解法、插值法与曲线拟合、数值积分与数值微分、常微分方程的数值解法等,为了加强对学生基本知识的训练与综合能力的培养,每章末都配备了练习题,以便读者巩固、复习及应用所学知识。
《数值计算方法》可作为工科院校各专业硕士研究生“数值计算方法”课程的教材或教学参考书,也可供从事数值计算的科技工作者参考。

1 绪论
1.1 现代科学技术研究的一般过程
高科技的发展,促使计算机科学的发展突飞猛进,计算机的高速、大容量和多功能,又为现代科学技术的发展提供了*优、*快的新途径,一般而言,现代科学技术研究可按如下四个阶段进行。
1.1.1 工程问题数学化(数学建模)
采用恰当的数学语言,描述自然科学、社会科学及管理和决策科学各领域中关键而核心的问题,常称为数学建模,要建立一个好的数学模型,对于单方面的专家都是很困难的,必须由各相关领域的专家和数学工作者,特别是从事计算数学、应用数学研究工作的学者,紧密结合,相互取长补短才有可能,这是因为评价一个模型的优劣主要有两点:其一,用什么样的数学语言,才能真正反映工程实际;其二,所用的数学语言,可否在计算机中实现,这二者缺一不可,因此,要求参与建模工作的工程专家必须精通专业,并且不但要有一定的数学和计算数学的基础知识,还要掌握宽广的数学知识,清楚工程问题数学化面临的主要问题和采用哪种数学语言描述此问题更为恰当,工程中的数学问题,一般可分为三类:其一,连续型(确定性),即能用数学解析式刻画的工程问题;其二,离散型(统计型),找不到确定的数学解析式来描述的工程问题;其三,不确定型(随机型)。本书**讨论连续型。


本书是为工科院校硕土研究生编写的教材,它是在原来所用教材的基础上,结合多年教学经验和科研实践修订而成的,本着重概念、重方法、重应用和重能力培养的原则,从构造算法、分析算法和使用算法三方面组织教材内容,在构造算法上,除阐明算法的构造思想和原理外,通过进一步的归纳和整理,我们尽量使同类算法都由某一基本原理或某一基本方法导出,以便读者易于领会和掌握同类算法的共同特征以及同类算法中不同方法之间的相异特征,在分析算法的有关理论推导中,我们力求深入浅出、通俗易懂,并补充少量基础知识,便于阅读和教学;在算法设计与理论分析中,对每种算法均十分关注其应用条件及使用中的问题。
每类算法都配以例题与习题,以助理解和练习。学习本书所需的数学基础是微积分、线性代数以及常微分方程的基本概念,可针对工科硕士研究生所要求的内容进行选材。本书中也包含一部分适合高水平学生深入理解的内容,可供选学。全书共六章,约需60~80学时,对不同专业,其具体内容和学时数可作适当增减。
本教程增加了目前工程和科学计算中的实际常用的数值计算方法及有关理论,如蒙特卡罗数值积分方法,大型稀疏线性方程组数值解,非线性方程组的数值解等。这些内容部分已超出目前出版的众多《数值计算方法》教材的内容。我们希望本教材出版有助于促进工科研究生《数值计算方法》课程水平并推动课程内容改革,希望有更多具有不同风格和特点的《数值计算方法》教材面世。
本书作者不仅长期从事本门学科的教学,而且具有长期从事科研项目计算的经历。这种实践形成了本书朴素、求实的风格。希望通过本书的介绍,使读者在较短的时间内比较顺利地掌握这些数值方法的要领和基本技巧,为今后从事科学计算打下牢固的基础。
李铁军老师编写**、三章,肖辞源老师编写第二章,刘志斌、杨雁老师编写第四、五章,刘小华老师编写第六章,全书由李铁军老师统稿。限于水平,书中疏漏和缺陷之处难免,敬请读者批评指正。

1 绪论
1.1 现代科学技术研究的一般过程
1.1.1 工程问题数学化(数学建模)
1.1.2 数学问题数值化(算法与分析)
1.1.3 数值问题机器化(程序设计)
1.1.4 科学实验
1.2 数值计算研究的主要问题
1.2.1 线性和非线性方程组的数值解法
1.2.2 数值逼近
1.2.3 微分方程数值解
1.3 误差与数值计算的误差估计
1.3.1 误差的来源与分类
1.3.2 误差与有效数字
1.3.3 数值计算的误差估计
1.3.4 选用和设计算法时应遵循的原则
习题

2 线性方程组的数值解法
2.1 消元法
2.1.1 三角形方程组的解
2.1.2 高斯消元法与列主元消元法
2.1.3 高斯-若当(Gauss-Jordan)消元法
2.2 直接分解法
2.2.1 多利特尔分解法
2.2.2 库朗分解
2.2.3 追赶法
2.2.4 对称矩阵的LDLT分解
2.3 向量和矩阵的范数
2.3.1 向量范数
2.3.2 矩阵的范数
2.3.3 矩阵的条件数
2.3.4 误差分析
2.4 雅**迭代
2.4.1 雅**迭代格式
2.4.2 雅**迭代的收敛性
2.5 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代
2.5.1 高斯-塞德尔迭代格式
2.5.2 高斯-塞德尔迭代的收敛性
2.6 松弛迭代
2.6.1 松弛迭代格式
2.6.2 松弛迭代的收敛性
2.7 大型稀疏线性方程组数值解
2.7.1 大型稀疏矩阵的压缩存储
2.7.2 解大型稀疏线性方程组的共轭斜量法
习题二

3 方程(组)的迭代解法
3.1 引言
3.2 迭代解法
3.2.1 根的初值确定方法
3.2.2 迭代法的求解过程
3.2.3 迭代法的收敛性
3.2.4 迭代序列的误差估计
3.3 迭代公式的改进
3.3.1 改变方程式法之
3.3.2 改变方程式法之二
3.3.3 牛顿迭代法
3.3.4 弦截法
3.3.5 |(x)|>1的处理方法
3.3.6 高阶迭代函数的构造方法
3.4 联立方程组的迭代解法
3.4.1 简单迭代法
3.4.2 关于一个收敛充分条件的证明
3.5 联立方程组的牛顿解法
习题三

4 插值与拟合
4.1 插值与拟合问题
4.1.1 插值问题
4.1.2 拟合问题
4.2 拉格朗日插值
4.2.1 拉格朗日插值多项式
4.2.2 插值余项与误差估计
4.3 均差与牛顿插值
4.3.1 均差及其性质
4.3.2 牛顿插值
4.4 差分与等距节点插值
4.4.1 差分及其性质
4.4.2 等距节点插值
4.5 其他插值方法
4.5.1 埃尔米特插值
4.5.2 分段低次插值
4.5.3 三次样条插值
4.6 曲线拟合
4.6.1 曲线拟合与函数逼近
4.6.2 曲线拟合的*小二乘法
习题四

5 数值积分与数值微分
5.1 数值积分问题
5.1.1 数值求积的基本思想
5.1.2 代数精度
5.1.3 插值型求积公式
5.1.4 数值积分收敛性与稳定性
5.2 牛顿-柯特斯数值积分
5.2.1 柯特斯系数
5.2.2 偶阶求积公式的代数精度
5.2.3 牛顿-柯特斯求积公式的余项
5.3 复化求积公式
5.3.1 复化梯形公式
5.3.2 复化辛普森求积公式
5.4 龙贝格求积公式
5.4.1 梯形法的递推化
5.4.2 龙贝格算法
5.4.3 理查森外推加速法
5.5 高斯求积公式
5.5.1 勒让德多项式
5.5.2 高斯-勒让德求积公式
5.5.3 高斯-切比雪夫求积公式
5.6 蒙特卡罗数值积分
5.6.1 蒙特卡罗方法的基本思想及特点
5.6.2 蒙特卡罗方法伪随机数的产生和检验
5.6.3 蒙特卡罗随机抽样
5.6.4 随机变量分布函数的构造
5.7 数值微分
5.7.1 中点方法与误差分析
5.7.2 插值型的求导公式
5.7.3 利用数值积分求导
5.7.4 数值微分的外推算法
习题五

6 微分方程数值解法
6.1 引言
6.2 简单的数值方法
6.2.1 欧拉(Euler)法
6.2.2 后退欧拉法
6.2.3 梯形方法与改进的Euler公式
6.2.4 单步法的有关概念
6.3 显式龙格-库塔方法
6.3.1 显式龙格-库塔方法的一般形式
6.3.2 2阶显式R-K方法
6.3.3 3阶与4阶显式R-K方法
6.4 线性多步法
6.4.1 线性多步法的一般公式
6.4.2 基于数值积分的方法
6.4.3 基于Taylor展开的方法
6.4.4 预测-校正方法
6.5 一阶方程组和高阶方程
6.5.1 一阶方程组
6.5.2 化高阶方程为一阶方程组
6.6 边值问题的数值解法
习题六
参考文献
……