《泛函分析》是作者多年来在南开大学数学系讲授泛函分析课程的基础上写成的。 《泛函分析》共六章:**章,距离空间与拓扑空间;第二章,赋范线性空间;第三章,有界线性算子;第四章,Hilbert空间;第五章,拓扑线性空间;第六章,Banach代数。 每章末附有一定量的习题,书后有部分习题解答。 泛函分析-第三版_刘炳初_科学出版社_

"§1。1距离空间的基本概念
**章距离空间与拓扑空间
§1。1距离空间的基本概念
一、 定义与例
极限运算是数学分析中*重要的运算之一,我们来回忆分析中的极限概念:{xn}是一个实数列,x是一个实数,如果对任意给定的ε>0,存在自然数N,当n>N时,|xn-x|<ε,我们就说当n→∞时,{xn}以x为极限。 在上面的定义中,|xn-x|表示直线 R上的点xn与点x之间的“距离”,因此它可以重新叙述为:对任意给定的ε>0,存在自然数N,当n>N时,xn与x之间的“距离”小于ε。 类似地,平面R2上的点列xn=(ξn, ηn),当n→∞时以点x=(ξ,η)为极限可以定义为:对于充分大的自然数n,点xn与点x的“距离”可以任意小,不过这里点xn=(ξn, ηn)与点x=(ξ,η)之间的距离为(ξn-ξ)2+(ηn-η)2。
从上面的例子中可以看出,不论是 R中的点还是R2中的点,甚至任意集合中的点,只要在其中定义了距离,我们就可以用它来衡量两点的接近程度,就可以在其中定义极限。 事实上,在分析中当我们考虑用多项式序列一致逼近区间[a,b]上的连续函数时,就曾用max0≤t≤1|p(t)-x(t)|来表示多项式p(t)与函数x(t)之间的“距离”。 我们把“距离”*基本的性质抽象化就得到距离空间的概念。
定义1。1。1设X是任一非空集,对X中任意两点x,y有一实数d(x,y)与之对应且满足:
1) d(x,y)≥0;且d(x,y)=0,当且仅当x=y;
2) d(y,x)=d(x,y)(对称性);
3) d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)(三角形不等式)。
称d(x,y)为X中的一个距离,定义了距离d的集X称为一个距离空间,记为(X,d),在不引起混乱的情形下简记为X。
下面给出距离空间的一些例子,其中有些在分析中起着很重要的作用。
例1。1。1设X是n元实数组全体,定义
其中,x=(ξ1,ξ2, ,ξn),y=(η1,η2, ,ηn)。
我们证明(X,d)是一个距离空间,为此我们需要验证d满足距离的三条公理。 1),2)显然成立,关键是证明三角形不等式成立。 我们先证明以下Cauchy不等式:对任意实数ak,bk(k=1, ,n),我们有
事实上,任取实数λ,则
上面等式左端是λ的一个二次三项式,于是它的判别式不大于0,即Cauchy不等式成立。
现在证明三角形不等式成立,由Cauchy不等式,得
设x=(ξ1,ξ2, ,ξn),y=(η1,η2, ,ηn),z=(ζ1,ζ2, ,ζn)是任意三点,在上面不等式中令ak=(ξk-ζk), bk=(ζk-ηk), 则nk=1(ξk-ηk)212≤nk=1(ξk-ζk)212+nk=1(ζk-ηk)212,即d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)。
所以(X,d)是一个距离空间,以后把这个空间简记为Rn,本节开头提到的R1,R2都是Rn的特殊情形。
例1。1。2考虑区间[a,b]上所有连续函数集,设x(t),y(t)是[a,b]上任意两个连续函数,定义
d(x,y)=maxa≤t≤b|x(t)-y(t)|,
由于x(t)-y(t)也是[a,b]上的连续函数,因此有*大值。 距离公理1),2)显然成立。 设x(t),y(t),z(t)是[a,b]上任意三个连续函数,则t∈[a,b],
|x(t)-y(t)|≤|x(t)-z(t)|+|z(t)-y(t)|
[a,b]上的连续函数全体赋以上述距离d是一个距离空间,记它为C[a,b]。
例1。1。3空间s。
考虑实数列{ξk}的全体。 设x={ξk}, y={ηk}是两个实数列,定义上式右边的12k是一个收敛因子,保证级数收敛,距离公理的1),2)
显然成立,为证三角形不等式,考虑(0,∞)上的函数
易见ψ′(t)=1(1+t)2>0,所以ψ(t)是单增的。 由此,设x={ξk}, y={ηk},z={ζk}。 由于
则有
在上不等式两边乘12k并求和,则得这个距离空间记为s。
例1。1。4空间S。
与例1。1。3类似,设E-R是一个Lebesgue可测集,0<m(e)<∞,考虑e上几乎处处有穷的可测函数全体,其中凡几乎处处相等的函数看成是同一元。 定义="" d(x,y)="∫E|x(t)-y(t)|1+|x(t)-y(t)|dt。" 与例1。1。3的证明类似,这是一个距离空间,把这个空间记为s。="" 通过以上几个例子我们看到,为了验证一个赋以函数d的非空集是一个距离空间,只需证明d满足距离的三条公理,通常比较困难的是证明三角形不等式。="" 一个距离空间可以是任意一个非空集,只要其中定义了满足距离三条公理的函数d即可。="" 事实上,任意非空集都可以赋以一个距离使其成为一个距离空间。="" 例1。1。5离散空间d。="" 设x是任一非空集,在x中定义d如下:="" x="y,1," x≠y。="" 不难验证d是一个距离,从而(x,d)是一个距离空间,称这个空间为离散空间,用d表示。="" 这样看来我们可以随意地定义距离。="" 特别地,距离不是惟一的,既使同一集也可以引进不同的距离,从而得到不同的距离空间。="" 例如在[a,b]区间上所有连续函数集中,如果我们定义="" 不难验证d1是一个距离,于是我们得到一个新的距离空间,我们认为这个空间与例1。1。2中的空间c[a,b]是两个不同的距离空间。="" 实际上,距离的定义是任意的,但是在每一个具体场合下,选择这样或那样的距离总是依据所研究的极限过程的需要引进的,关于这一点下面我们还要继续讨论。="" 二、="" 收敛性="" 在距离空间中,我们可以像在数学分析中一样定义极限的概念。="" 定义1。1。2设{xn}是距离空间(x,d)中的一个点列,x0是x中一点,如果当n→∞时,d(xn,x0)→0,则称当n→∞时,{xn}以x0为极限,或当n→∞时,{xn}收敛于x0。="" 记为xn→x0(n→∞),或limn→∞xn="x0。" 下面我们证明有关极限的两个简单性质。="" 定理1。1。1设{xn}是距离空间x中的收敛点列,则:="" 1)="" {xn}的极限是惟一的;="" 2)="" 如果x0是{xn}的极限,那么{xn}的任一子列{xnk}必收敛且以x0为极限。="" 证1)="" 设xn→x0,xn→y0(n→∞),则对ε="">0,存在自然数N,当n&gt;N时,
d(xn,x0)&lt;ε2, d(xn,y0)&lt;ε2,
于是由三角形不等式,当n&gt;N时
d(x0,y0)≤d(xn,x0)+d(xn,y0)&lt;ε2+ε2=ε。
由于ε是任意的,所以d(x0,y0)=0, x0=y0。
2) 设xn→x0(n→∞),则ε&gt;0,存在N,当n&gt;N时,d(xn,x0)&lt;ε,选取K,使得当k&gt;K时nk&gt;N,则当k&gt;K时,d(xnk,x0)&lt;ε,即xnk→x0(k→∞)。
定理1。1。2设(X,d)是距离空间,则
|d(x,y)-d(x1,y1)|≤d(x,x1)+d(y,y1), (x,y,x1,y1,∈X)。
证由三角形不等式
d(x,y)≤d(x,x1)+d(x1,y)≤d(x,x1)+d(x1,y1)+d(y1,y),
由于x,y与x1,y1的地位是对称的,所以
|d(x,y)-d(x1,y1)|≤d(x,x1)+d(y,y1)。
由定理1。1。2可以看出,在距离空间中,当xn→x0及yn→y0(n→∞)时,必有d(xn,yn)→d(x0,y0)(n→∞)。
我们看一看前面列举的几个具体的距离空间中收敛性的涵义。
在空间Rn中,易见空间的收敛就是按坐标收敛。
在C[a,b]中,如果d(xn,x0)→0(n→∞),即
maxa≤t≤b|xn(t)-x0(t)|→0(n→∞),于是对任意的ε&gt;0,存在N,当n&gt;N时,t∈[a,b],有即函数列{xn(t)}在[a,b]上一致收敛于函数x0(t)。 反之,如果{xn(t)}一致收敛于x0(t),则d(xn,x0)→0(n→∞)。
总之,C[a,b]的收敛是函数列在[a,b]上的一致收敛,大家都知道这种收敛在分析中有重要的作用。
我们证明空间S中的收敛等价于函数列依测度收敛。
设xn→x0(n→∞),则对于任意的σ&gt;0,由于
d(xn,x0)=∫E|xn(t)-x0(t)|1+|xn(t)-x0(t)|dt≥∫{t∈E:|xn(t)-x0(t)|≥σ}|xn(t)-x0(t)|1+|xn
(t)-x0(t)|dt≥σ1+σmt∈E:|xn(t)-x0(t)|≥σ。
所以,当n→∞时,mt∈E:|xn(t)-x0(t)|≥σ→0,即{xn}在E上依测度收敛于x0(t)。
反之,设{xn(t)}在E上依测度收敛于x0(t),则对ε&gt;0及σ&gt;0,由于
d(xn,x0)=∫E|xn(t)-x0(t)|1+|xn(t)-x0(t)|dt≤σ1+σmE+∫{t∈E:|xn(t)-x0(t)|≥σ}|
xn(t)-x0(t)|1+|xn(t)-x0(t)|dt≤σ1+σmE+m{t∈E:|xn(t)-x0(t)|≥σ},
先选取σ,使σ1+σmE&lt;ε2,再对上述σ选取自然数N,使当n&gt;N时,m{t∈E:|xn(t)-x0(t)|≥σ}&lt;ε2。 于是当n&gt;N时,d(xn,x0)&lt;ε2+ε2=ε,即d(xn,x0)→0 (n→∞)。
*后,在离散空间D中,{xn}收敛于x0,当且仅当,从某一下标开始{xn}为常驻列{x0}。
事实上,如果xn→x0(n→∞),取ε=12,则存在N,当n≥N时,d(xn,x0)&lt;12,由此当n≥N时,xn=x0,反之显然。"</m(e)<∞,考虑e上几乎处处有穷的可测函数全体,其中凡几乎处处相等的函数看成是同一元。>

"丛书第三版序
丛书**版序
**章距离空间与拓扑空间(1)
§1。1距离空间的基本概念(1)
§1。2距离空间中的点集(7)
§1。3完备距离空间(11)
§1。4压缩映射原理(16)
§1。5拓扑空间的基本概念(20)
§1。6紧性(27)
§1。7距离空间的紧性(29)
习题一(33)
第二章赋范线性空间(36)
§2。1赋范空间的基本概念(36)
§2。2空间Lp(p≥1)(42)
§2。3赋范空间进一步的性质(48)
§2。4有穷维赋范空间(53)
习题二(55)
第三章有界线性算子(58)
§3。1有界线性算子与有界线性泛函(58)
§3。2BanachSteinhaus定理及其某些应用(64)
§3。3开映射定理与闭图像定理(69)
§3。4HahnBanach定理及其推论(77)
§3。5某些赋范空间上有界线性泛函的一般形式(83)
§3。6自反性、弱收敛(90)
§3。7紧算子(96)
习题三(100)
第四章Hilbert空间(104)
§4。1内积空间的基本概念、例(104)
§4。2正交性、正交系(110)
§4。3Riesz表示定理,Hilbert空间的共轭空间(119)
习题四(123)
第五章拓扑线性空间(125)
§5。1拓扑线性空间的基本性质(125)
§5。2半范数、局部凸空间(135)
§5。3弱拓扑(142)
习题五(151)
第六章Banach代数(153)
§6。1定义与例(153)
§6。2正则点与谱(155)
§6。3极大理想与商代数(158)
§6。4交换Banach代数的基本定理(160)
习题六(168)
参考文献(169)
部分习题解答(170)
后记(214)"

《泛函分析》可作为泛函分析的一本入门教材。 可供高等院校数学系学生用作教材,也可供数学教学和科研人员参考。