《线性代数》根据学生专业学时要求,遵循易教易学的原则安排内容体系,是浙江省精品课程建设成果之一,也是浙江工业大学**教材建设项目,是编者们总结多年的教学经验并在大量参考国内外同类教材的基础上编写而成.
《线性代数》共七章,包括行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换、向量的线性关系、向量空间、矩阵的相似变换和二次型,每节后配有思考题,每章后配有习题、复习题,《线性代数》*后附有习题答案.《线性代数》一至六章内容符合工科及管理类等专业基本要求,教学约32学时.加上每章附录和第七章内容,可为部分理科专业选用.本《线性代数》带*号内容为根据课时选讲内容. 线性代数 浙江省**学科应用数学教学改革与科学研究丛书&nbsp_王定江_科学出版社_

**章行列式
行列式是线性代数中基本的运算工具之一.本章先利用线性方程组,引出低阶行列式的定义;再通过排列的逆序数概念,给出n阶行列式的重要定义;随后讨论行列式的重要性质与计算方法;*后介绍利用行列式求解n元线性方程组的克拉默(Cramer)法则.
**节n阶行列式
一、二阶与三阶行列式
1.二元线性方程组与二阶行列式
用消元法求解二元线性方程组
为了消去未知数x2,**个方程和第二个方程两边分别同乘上a22与a12后再相减,得
类似地,消去未知数x1,得
当时,方程组(1.1)的解是
式(1.2)中的分子、分母都是由四个数组成的计算式,这些计算式的结构完全一样,即都是两两相乘再相减,其中分母a11a22 a21a12由方程组(1.1)中的未知数的四个系数来确定.我们不妨把这四个数按照它们在方程组(1.1)中的位置,排成两行两列的数表
称式(1.4)是数表(1.3)所确定的二阶���列式,数aij(i=1;2;j=1;2)称为行列式(1.4)的元素或元,元素aij的**个下标表明该元素位于第i行,称为行标,第二个下标表明该元素位于第j列,称为列标.如图1.1将a11;a22所组成的对角线称为主对角线,这两个元素称为主对角元;而a12;a21所组成的对角线称为副对角线.因此,可以用对角线法则来记忆二阶行列式的定义,即二阶行列式是主对角线
上两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差.
图1.1
根据二阶行列式的定义,式(1.2)中的分子也可以写成二阶行列式,即
则式(1.2)可写成
注意这里的分母D是由方程组(1.1)的未知数的系数所确定的行列式,称为系数行列式.x1的表达式中的分子D1是将系数行列式D中的**列元素依次替换成常数项b1;b2;x2的表达式中的分子D2是将系数行列式D中的第二列元素依次替换成常数项b1;b2.
2.三元线性方程组与三阶行列式
下面我们再利用消元法来求解三元线性方程组类同于上述二元线性方程组,经过稍显复杂的消元法计算,当时,方程组(1.5)的解是
式(1.6)中分子和分母的计算式的结构完全相同,我们利用式(1.6)中的分母,给出三阶行列式的定义.
定义1由9个数排成3行3列的数表
称式(1.8)为数表(1.7)所确定的三阶行列式.
从定义1可知,三阶行列式含6项,每项都是不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号,其规律遵循图1.2所示的对角线法则:图中三条实线上的三个元素的乘积项取正号,三条虚线上的三个元素的乘积项取负号,取正号的三个元素所在的实联线可以看作与主对角线平行,取负号的三个元素所在的虚联线可以看作与副对角线平行.
利用三阶行列式的定义,将式(1.6)中的分子写成三阶行列式,即
若记式(1.6)可写成
其中D;Dj(j=1;2;3)如式(1.9)所示.
注意用三阶行列式表示三元方程组的解与二元方程组解的行列式的表示规律完全相同,即分母都是由方程组的未知数的系数确定(称系数行列式),xj(j=1;2;3)的表达式中的分子Dj(j=1;2;3)是将系数行列式D中的第j列元素依次替换成常数项b1;b2;b3.
例1计算三阶行列式
解按对角线法则,有注意:对角线法则只适用于二阶和三阶行列式.为了给出四阶及更高阶行列式的定义,下面介绍全排列的相关知识.
二、n阶行列式
1.全排列与逆序数
定义2把n个不同的元素排成一行,称为这n个元素的全排列.
n个不同的元素的所有排列的种数,通常用Pn表示,易知Pn=n!.对于n个不同的元素,先规定各元素之间有一个标准次序(例如,n个不同的自然数,可规定由小到大为标准次序).于是在这n个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就称为有一个逆序.一个排列中所有逆序的和,称为这个排列的逆序数.
如何来计算排列的逆序数呢?
不失一般性,不妨设n个元素为1到n这n个自然数,并规定由小到大为标准次序.设q1q2 qn是这n个自然数的一个全排列,如果比qi大的且排在qi左边的元素有ti个,就说元素qi的逆序数是ti.则这个排列的逆序数是全体元素的逆序数之和,即
例2求排列54312的逆序数.
解在排列54312中:
5排在*左边,逆序数为0;
4的左边比4大的数有一个(5),故逆序数为1;
3的左边比3大的数有两个(5,4),故逆序数为2;
1的左边比1大的数有三个(5,4,3),故逆序数为3;
2的左边比2大的数有三个(5,4,3),故逆序数为3,于是这个排列的逆序数为t=0+1+2+3+3=9:
逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列.显而易见,例2中的排列是奇排列.
在排列中,任意两个元素交换位置,其余的元素不动,得到一个新的排列,这个动作称为对换.若对换的是相邻两个元素,则称为相邻对换.
定理1一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.
证明见附录一.
推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数,偶排列变成标准排列的次数为偶数.
证明由定理1知,对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,又标准排列是逆序数为0的偶排列,因此推论成立.
2.n阶行列式的定义
为了给出n阶行列式的定义,先来研究三阶行列式的结构.由三阶行列式的定义式(1.8),可以看出:
(i)式(1.8)右边的每一项都是取自不同行不同列的三个元素的乘积,因此,式(1.8)右边的任意一项除去正负号外可以记为a1q1a2q2a3q3,这里元素的**个下标(行标)对应的是标准排列,第二个下标(列标)对应的排列是q1q2q3,它是1,2,3这三个数的某个排列.这样的排列共有6种,对应式(1.8)右边的6项.(ii)带正号的三项的列标排列分别是123,231,312,均是偶排列;带负号的三项的列标排列分别是132,213,321,均是奇排列.因此每项所带的符号可以表示为(?1)t,其中t表示列标排列的逆序数.
于是,三阶行列式可以写成
其中,X表示对1,2,3三个数的所有排列q1q2q3求和.t表示排列q1q2q3的逆序数,类似,可以给出n阶行列式的定义.
定义3设有n2个数aij(i;j=1;2; ;n)排成n行n列的数表其中,X表示对1;2; ;n这n个数的所有排列q1q2 qn求和,即共有n!项求和,t表示排列q1q2 qn的逆序数.称式(1.11)是数表(1.10)确定的n阶行列式,记做Dn=det(aij).

**章行列式1
**节n阶行列式.1
一?二阶与三阶行列式1
二?n阶行列式5
思考题一8
第二节行列式性质与展开定理9
一?行列式的性质9
二?行列式按行(列)展开定理.13
思考题二20
第三节克拉默(Cramer)法则20
一?克拉默法则20
二?齐次线性方程组22
思考题三23
习题一23
复习题一26
附录一28
第二章矩阵及其运算32
**节矩阵及有关概念32
一?矩阵32
二?特殊矩阵34
三?矩阵的相等35
思考题一36
第二节矩阵的基本运算36
一?矩阵的加法36
二?数乘矩阵36
三?矩阵乘法37
四?方阵的乘幂40
五?矩阵的转置42
思考题二43
第三节逆矩阵43
一?伴随矩阵43
二?逆矩阵及其性质45
思考题三49
第四节分块矩阵.49
一?分块矩阵50
二?分块矩阵的运算50
三?分块对角矩阵52
思考题四54
习题二54
复习题二58
第三章矩阵的初等变换61
**节初等变换.61
一?初等变换61
二?初等矩阵65
三?初等变换法求逆矩阵.67
思考题一70
第二节矩阵的秩.70
一?矩阵的秩71
二?秩的计算72
三?秩的性质73
思考题二73
第三节线性方程组的解74
一?初等行变换法求解线性方程组74
二?线性方程组解的判定.76
思考题三80
习题三81
复习题三83
附录三85
第四章向量的线性关系88
**节向量及其线性表示88
一?n 维向量88
二?向量的线性运算88
思考题一90
第二节向量组的线性相关性.91
一?向量组的线性相关91
二?向量组线性相关的性质.93
思考题二94
第三节向量组的秩96
一?向量组的极大无关组.96
二?向量组的秩97
思考题三98
习题四99
复习题四101
附录四102
第五章向量空间104
**节向量空间104
一?向量空间及有关概念.104
二?向量空间的基?维数和坐标.105
三?基变换与坐标变换¤106
思考题一109
第二节向量内积与正交化109
一?向量的内积109
二?向量的正交性111
三?施密特正交化112
思考题二114
第三节线性方程组的解空间114
一?齐次线性方程组的基础解系114
二?齐次线性方程组的解空间117
三?非齐次线性方程组的解集117
思考题三121
习题五121
复习题五124
附录五126
第六章矩阵的相似变换.127
**节方阵的特征值和特征向量.127
一?特征值与特征向量.127
二?特征值和特征向量的性质130
思考题一132
第二节相似矩阵132
一?相似矩阵的概念与性质132
二?矩阵的对角化133
思考题二136
第三节实对称矩阵的对角化136
一?实对称矩阵特征值与特征向量137
二?正交矩阵137
三?实对称矩阵的对角化.138
思考题三142
习题六142
复习题六144
附录六146
第七章二次型148
**节实二次型及其标准形148
一?二次型的概念148
二?二次型的矩阵表示.149
思考题一150
第二节化实二次型为标准形150
一?线性变换150
二?配方法151
三?用正交变换化二次型为标准形153
思考题二155
第三节正定二次型156
一?惯性定理156
二?正定二次型157
思考题三160
习题七160
复习题七161
部分习题和复习题答案164
参考文献177

《线性代数》可供高等院校相关专业作为线性代数课程的教材使用,也可供自学者和专业人士阅读.9787030430687