本书是俄罗斯科学院院士О.А.奥列尼克多年来在莫斯科大学数学力
学系为大学三年级学生讲授该课程基础上的扩充。内容包括偏微分方程理
论的古典与现代理论的基础部分,以及泛函分析、广义函数理论、函数空
间理论方面的一些知识。作者是И.Г.彼得罗夫斯基的学生,在偏微分方
程这个方向享有盛名。此书反映了莫斯科大学在这个课程上,20世纪后半
叶至今的新情况,可供我国偏微分方程课教学参考。
本书可供综合大学和师范院校数学、物理、力学及相关专业的教师和
学生参考,也可供工科院校应用数学系师生参考。

《俄罗斯数学教材选译》序
第二版序
**版序节录
第1章 辅助命题
1.1 符号.分析中的一些命题
1.1.1 赫尔德(Holder)不等式
1.1.2 弗里德里希斯(Fiedrichs)不等式
1.1.3 非负函数的导数的估计
1.2 磨光函数.广义导数
1.3 广义函数理论的基本概念与定理
1.3.1 广义函数空间D'(Ω)
1.3.2 广义函数的直积
1.3.3 广义函数的卷积
1.3.4 广义函数空间S'(Rn/χ)
1.3.5 微分方程的广义解
1.3.6 空间Hk(Ω)
第2章 偏微分方程的分类
2.1 归结为偏微分方程的一些物理问题
2.2 柯西问题.特征.方程的分类
第3章 拉普拉斯方程
3.1 调和函数.泊松方程.格林公式
3.2 基本解
3.3 借助势表示解
3.4 基本边值问题
3.5 算术平均定理.极值原理
3.6 格林函数.球的狄利克雷问题的解
3.7 边值问题解的**性和对边界条件的连续依赖性
3.8 导数的先验估计.解析性
3.9 刘维尔定理和弗拉格门-林德勒夫定理
3.10 调和函数的孤立奇点.在无穷远点邻域中的性态.无界区域的狄利克雷问题
3.11 关于调和函数序列.拉普拉斯方程的广义解.外尔引理
3.12 牛顿势.拉普拉斯算子的亚椭圆性
3.13 狄利克雷问题的广义解
o
3.13.1 H1(Ω)中函数的迹
3.13.2具有齐次边界条件的狄利克雷问题
3.13.3变分方法
3.13.4具有非齐次边界条件的狄利克雷问题
第4章 热传导方程
4.1 格林公式.基本解
4.2 解借助于势的表示.解的无穷次可微性
4.3 边值问题与柯西问题的提法
4.4 有界区域与无界区域中的极值原理
4.5 边值问题与柯西问题解的先验估计.**性定理.解的稳定性
4.6 导数的估计.解对变量χ的解析性.应用
4.7 刘维尔定理.关于可去奇点的定理.解族的紧性
4.8 借助傅里叶变换解柯西问题.体热势的光滑性
4.9 广义解.热传导算子的亚椭圆性
第5章 双曲型方程与双曲型方程组
5.1 波动方程

5.1.1 柯西问题.能量不等式
5.1.2 在n=3时柯西问题的解.基尔霍夫公式
5.1.3 降维法.在n=2时柯西问题的解.泊松公式
5.1.4 弦振动方程的达朗贝尔公式
5.1.5 基尔霍夫公式、泊松公式和达朗贝尔公式的定性研究.波在不同维数空间中的传播
5.1.6 非齐次方程.杜阿梅尔原理
5.2 弦振动方程的混合问题
5.3 双曲型偏微分方程组的柯西问题
5.4 柯西定理
5.5 柯瓦列夫斯卡娅定理及其推广
5.5.1 柯瓦列夫斯卡娅定理的证明
5.5.2 某些推广
5.5.3 不存在解析解的例子
5.6 可对称化组.戈杜诺夫条件
5.7 对称组柯西问题的解
5.7.1 **性定理
5.7.2 嵌入定理
5.7.3 先验估计
5.7.4 常系数方程组柯西问题解的存在性
5.7.5 杜阿梅尔原理
5.8 柯西问题的广义解
参考文献
名词索引
译者后记

本书是俄罗斯科学院院士、莫斯科大学教授О.А.奥列尼克在莫斯科大学数学力学系讲课的讲义扩充而成的教材。作者是И.Г.彼得罗夫斯基的学生,在偏微分方程这个方向享有盛名。此书反映了莫斯科大学在这个课程上,20世纪后半叶至今的新情况,可供我国偏微分方程课教学参考。
本书讲述了有关拉普拉斯方程、热传导方程、波动方程作为三种基本类型的偏微分方程的基本内容,**章中包括了数学分析和广义函数理论的某些知识。第二版中补充了柯瓦列夫斯卡娅定理的证明、非齐次弦振动方程的混合问题、波动方程的柯西问题以及对称双曲组理论。