为适应高等学校数学类课程改革的需要,编者经过多年教学实践经验并吸收“十五”、“十一五”规划教材成果的基础上编写了《高等数学:经管类 上册》。
《高等数学:经管类 上册》分为上、下两册,《高等数学:经管类 上册》为上册,内容包括函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分书后都附有习题参考答案或提示。
《高等数学:经管类 上册》可作为高等院校(含师范类)经管类各专业通用的教材,也可作为高等院校教师的教学参考书,还可供经济管理人员参考。 高等数学-(上册)-经管类_林谦 主编_科学出版社_

第1章 函 数
函数是数学中*重要的基本概念之一,是现实世界中量与量之间的依存关系在数学中的反映,也是微积分学研究的主要对象.本章将在中学已有知识的基础上,进一步阐明函数的定义和性质,总结在中学已学过的一些函数,并介绍一些经济学中常用的函数.
1.1 函 数1.1.1 集合
1.基本概念
1)集合的含义某些指定对象构成的总体,构成集合的对象称为集合的元素.2)集合元素的三特性
(1)确定性――对确定集合而言,任一指定对象或者是或者不是确定集合中的元素.
(2)互异性――在确定集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同对象归入一个集合时仅算一个元素.
(3)无序性――在确定集合中,元素的排列不分先后顺序,因此判断两个集合是否相同仅需比较它们所含元素是否相同,不需考查元素的排列顺序是否一样.
3)集合的表示通常用大写字母A,B,C,X,Y,.表示集合,小写字母a,b,c,x,y,.表示元素.
(1)列举法――把集合中���元素一一列举出来,然后用大括号括起来.例如,A=
a ,b ,c
.
(2)描述法――若集合是由具有某种性质P的全体元素所组成,则可将集合表为
a
a具有性质P的形式.例如,A=
a
a 为非直角三角形
,B =
x
x -3>2 .
?2? 高等数学(经管类)上册
4)常用数集及其记号自然数集N,正整数集N+,整数集Z,有理数集Q,正有理数集Q+,负有理数
集Q-实数集R,正实数集R+,负实数集R-.5)集,合的分类有限集――所含元素个数有限的集合.无限集――所含元素个数无限的集合.6)集合、元素间的基本关系
(1)集合与元素间的基本关系
当a是集合A中的元素时,称元素a属于集合A,并记作a∈A,否则称元素a不属于集合A,记作a臭A.例如,0∈N但0臭N+.
(2)集合与集合间的基本关系相等――若集合A与B具有相同的元素,则称A与B相等,并记作A=B.子集――若集合A中的元素都是集合B中的元素,则称A是B的子集,也称
A包含于B或B包含A,并记作A彻B或B澈A,而A锄B则表示A不是B的子集.真子集――若A彻B且B中至少有一个元素不属于A,则称集合A是集合B的真子集,并记作A炒B或B车A.空集――不含任何元素的集合,通常用?表示,并规定:空集是任何集合
的子集.显然,对任何集合A与B来说,下列关系成立(自己思考或验证):A彻A,?彻A;A=B骋A彻B且B彻A;若A彻B,B彻C,则A彻C(传递性).为方便讨论起见,今后不再区分包含符号彻与真包含符号炒.
2.集合的运算
1)并运算由A和B中的所有元素组成的集合称为A和B的并集,并记作A∪B,即A∪B=
x
x∈A或x∈B
.2)交运算由A和B中的所有公共元素组成的集合称为A和B的交集,并记作A∩
B,即A∩B=
x
x∈A且x∈B
.3)差运算由属于A而不属于B的所有元素组成的集合称为A和B的差集,并记作
第1章 函 数?3?
A-B,即A-B=
x
x∈A且x臭B
.
4) 补运算
若A彻I(I称为全集),则称差集I-A为集合A关于全集I的补集,并记作AC ,即AC = I -A =
x
x ∈ I 且x 臭A
.
3.集合的运算性质
(1)交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.
(2)结合律:A∪B∪C=A∪B∪C,A∩B∩C=A∩B∩C.
(3)分配律:A∪B∩C=A∩C∪B∩C,A∩B∪C=A∪C∩
B ∪ C .
(4)对偶律:A∪BC = AC ∩ BC , A ∩ BC = AC ∪ BC.
1.1.2 实数集与数轴
正整数整数
零
有理数
负整数
无限循环小数正分数实数
分数
负分数
无理数――无限不循环小数
实数集――由全体实数构成的集合
x
-∞,并记作R,即
R=
x
-∞.数轴――具有原点、方向和单位长度三要素的直线.数轴的主要意义在于把实数用数轴上的
点表示出来,且数轴上的全体点与全体实数构成一一对应的关系(图1?1).图1?1
1.1.3 区间
区间――介于某两个实数之间或不超过(不小于)某一实数的全体实数或全体
实数,即
?4? 高等数学(经管类)上册
开区间a ,b =
x
a< x < b
闭区间a ,b =
x
a≤ x ≤ b
有限区间
左开右闭区间aa ,,bb ==
x a< x ≤ b
半开半闭区间
左闭右开区间
= R
a ≤ x < b
.
x
区间
-∞,+∞ =
x
-∞x x > a
无限区间
a ,+∞ =
x
x ≥ a
-∞ ,b =
x
x < b
-∞ ,b =
x x ≤ b
1.1.4 **值
x, x≥0,
对任意实数x,用符号
x
表示x的**值,并规定
x
= -x , x <0 , 且易
见
x
= x -0
表示数轴上的点x与原点之间的距离,**值及其运算具有下列性质:-x
=
x
,
x
≤ x ≤
x
;
x
≤ ≤
x
+
, =
x
, =
x ± y xy
y
yx
-
y
y
x
y ≠0 ;
y
x
0,x
>b 骋 x<-b或x>bb≥0;x
≤a 骋 -a≤x≤aa≥0,x≥b 骋 x≤-b或x≥bb≥0.
1.1.5 邻域
定义1.1 若a∈R,δ>0,则称实数集(开区间)
x x -a
<δ
=
x
a-δ=a-δ,a+δ为以点a为**,δ为半径的邻域,简称点a的δ邻域(图1?2(a)),并记作∪(a,
δ) , 即∪ a ,δ =
x x -a
<δ
=
x
a-δ=a-δ,a+δ,
ο
而将从∪(a,δ)中去掉**点a后的集合Ua,δ称为点a的δ去心邻域(图1?2(b)),即
Uοa ,δ =
x
0<
x -a
<δ
=a-δ,a∪a,a+δ.例1.1 解不等式
x +3
≥1(用区间表示),并在数轴上表示出来.
第1章 函 数?5?
图1?2
解
x +3
≥1痴x+3≤-1或x+3≥1痴x≤-4或x≥-2.用区间可表为
-∞ ,-4
∪
-2,+∞,用数轴表示则如图1?3所示.解毕图1?3例1.2 满足不等式
x +2
<5的全体实数,称为以( )为**、( )为半径的邻域,用区间可表为( ),并在数轴上表示出来.
解 因
x +2 <5 即x -( -2)
<5,故前两个括号内应填-2和5,而由x+2
<5痴-7图1?4
1.1.6 函数概念
1.函数定义
函数,是微积分研究的主要对象,也是数学中*基本的概念之一,它反映的是两个实数集之间的一种对应关系,下面给出定义.
定义1.2 若?≠D炒R,且f是由D到R的一个对应法则,使得对每个x∈D,通过f都存在**的y∈R与之对应,则称f为定义在D上的函数,也称y是x的函数,并记为
f:D→R或y=fxx∈D同时称x为自变量,y为因变量,D为函数f的定义域(将D记为Df,以明确Df为函数f的定义域),而将全体函数值构成的集合还可,
?6? 高等数学(经管类)上册
记为或记为
y=f(x),x∈D
ZffD炒R
y
称为函数f的值域,将坐标平面上的点集
x ,y
y=f(x),x∈D称为函数y=fxx∈D的图像或图形.如果仅用式子fx表示函数时,则其定义域指的是使式子fx有意义的全体实数x构成的集合,并称这样的定义域为自然定义域(或*大定义域).
例1.3 求函数y=x-2
x +1 的定义域D.
x -1
x +1
解 要使式子x-2
x +1 有意义,则必有
x -1≥0 , 即有
x -1
x-1≠0,x+1x-1≥0x≠1由此可解得x>1或x≤-1,即D=-∞,-1∪1,+∞.解毕
例1.4 求函数y=arcsinx 2-1的定义域D.
x -1
解 要使式子arcsinx 2-1有意义,则必有
≤1 , 即有
x -1
≤2,由此
2解得-1≤x≤3,即D=
-1 ,3
.解毕
2.函数的要素及相同函数的判定
由函数的定义知,确定一个函数主要由其两个要素
(1)定义域,所决定.因
(2)对应法则此,对给定的两个函数f和g,要判断它们是否表示同一个函数,只要看它们对应的两对要素是否分别相同即可,即
(1)定义域Df=Dg,
f和g表示同一个函数 骋
(2)f与g表示的对应法则相同,所以,一个函数用什么字母作为其自变量和因变量的符号都可以,都不影响函数的实质,如
y=f(x)(x∈D),s=f(t)(t∈D)与v=fuu∈D都表示同一个函数.例1.5 判断下列各对函数是否相同,并说明理由:
(1) fx = ln x2,gx=2lnx; (2)fx=x,gx=
x
;
(3) fx =
x
,gx=
x2.